河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期理数联考试卷

试卷更新日期：2020-11-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数 $z = 2 - i$ ．则 $| i z^{2} - 1 | =$ （）

A、2 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{34}$ D、18

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x \leq 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，若 $C \subseteq (A \cap B)$ ，则集合 $C$ 可以为（）

A、 $(1, 5)$ B、 $[1, 5]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- 1, 5)$

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3. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{2 \cos^{2} α - \sin^{2} α}{\cos 2 α} =$ （）

A、 $\frac{7}{3}$ B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\pm \frac{2}{3}$

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4. 已知 $a = \log_{3} 0.4$ ， $b = \log_{0.3} 0.4$ ， $c = 2^{0.3}$ ．则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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5. 已知点 $P$ 为抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点，且点 $P$ 到 $x$ 轴的距离比它到焦点的距离小3，则 $p =$ （）

A、3 B、6 C、8 D、12

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6. 我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放．某 $4 A$ 景区对重新开放后的月份 $x$ 与该月游客的日平均人数 $y$ （单位：千人/天）进行了统计分析，得出下表数据：

月份 $(x)$

4

5

7

8

日平均人数 $(y)$

1.9

3.2

$t$

6.1

若 $y$ 与 $x$ 线性相关．且求得其线性回归方程为 $y = x - 2$ ，则表中 $t$ 的值为（）

A、4.7 B、4.8 C、5 D、无法确定

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7. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} - 25 x + 2 - m$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则 $f (x)$ 的图像在点 $(m ， f (m))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + 2 y - 70 = 0$ B、 $x - y + 32 = 0$ C、 $2 x - y + 30 = 0$ D、 $x + y + 32 = 0$

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8. 古希腊时期，人们把宽与长之比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形称为黄金矩形，把这个比值 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形 $A B C D$ ， $E B C F$ ， $F G H C$ ， $F G J I$ ， $L G J K$ ， $M N J K$ 均近似为黄金矩形.若 $A$ 与 $D$ 间的距离大于18.7m， $C$ 与 $F$ 间的距离小于12m．则该古建筑中 $A$ 与 $B$ 间的距离可能是（）（参考数据： $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ， ${0.618}^{7} \approx 0.38$ ， ${0.618}^{3} \approx 0.236$ ）

A、29m B、29.8m C、30.8m D、32.8m

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9. 执行如图所示的程序框图，设所有输出数据构成的集合为 $A$ ，若从集合 $A$ 中任取一个元素 $a$ ，则满足函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + 2020$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 内单调递增的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，记关于 $x$ 的方程 $f (x) =$ $t (- 2 < t < - 1)$ 在区间 $[0 ， \frac{5 π}{6}]$ 上所有解的和为 $θ$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\tan 2 t$

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11. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ ，则 $\frac{\sqrt{3} x - y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为一个“堑堵”，底面 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形且 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $P C ⊥ P C_{1}$ ，当 $△ A P C_{1}$ 的面积取最小值时，三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{45 π}{2}$ B、 $\frac{45 \sqrt{5} π}{2}$ C、 $30 π$ D、 $45 π$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 2 ， \\ x \geq - 1 ， \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值是．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°， ${\vec{a}}^{2} = 4 {\vec{b}}^{2} = 4$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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15. 定义：以一双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，若 $| O F | = 3 | P F |$ （ $O$ 为坐标原点）．则 $C$ 的共轭双曲线的离心率为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $b (\sin A - \sin B) = a \sin A - c \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{12} c^{2}$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是单调递增的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足： $S_{3} = 7 a_{1}$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1} - 1$ ， $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{2 n} \cdot \log_{2} a_{2 n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，平面 $B C C_{1} B_{1}$ 是某圆柱的轴截面，线段 $A A_{1}$ 是该圆柱的一条母线， $A B = A C$ ， $D$ ， $E$ 分别为线段 $A A_{1}$ ， $B C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = \sqrt{2} A B$ ，求直线 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值．

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19. 为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，赢红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：Pass（通过）与Fail（失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节．复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败．假定买家每一关通过的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且各关卡之间是否通过相互独立．

(1)、求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；

(2)、若闯关成功，则买家可赢得50元的购物红包．若闯关失败．则可获得10元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款．某日有8100人参与了游戏且均在该网店消费．
（ⅰ）求该日所有买家所获红包总金额 $X$ 的数学期望：

（ⅱ）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利8元/人，从中奖的买家的购物中平均获利120元/人（均不含所发红包在内）．试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，过点 $F_{2}$ 且斜率不为0的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当点 $F_{1}$ 到直线 $l$ 的距离取最大值时， $| A F_{2} | = \frac{5 \sqrt{6}}{6}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $\vec{B F_{2}} = 2 \vec{F_{2} A}$ ，求 $△ F_{1} A B$ 的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m \ln x - x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = - 1$ 时，证明：函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 1 - x$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求 $m$ 的值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = r \cos α, \\ y = r \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数， $r > 0$ ），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = 4$ ．

(1)、分别求圆 $C$ 的普通方程及直线 $l$ 的直角坐标方程，并求当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时 $r$ 的值；

(2)、动点 $P$ ， $Q$ 分别在直线 $l$ 与圆 $C$ 上，若 $r = \sqrt{2}$ ，求线段 $P Q$ 长度的最小值．

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23. 设不等式 $| x - 4 | + 2 | x + 1 | \leq 4 x$ 的解集为 $M$ ．

(1)、求集合 $M$ ；

(2)、若 $a$ ， $b \in M$ ，证明： $a b - 2 a \geq 2 b - 4$ ．

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月份 $(x)$	4	5	7	8
日平均人数 $(y)$	1.9	3.2	$t$	6.1