人教新课标A版选修2-3 第三章统计案例

试卷更新日期：2020-11-30 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：

x

2

4

5

6

8

y

3

4.5

m

7.5

9

若其回归直线方程是 $y = 1.05 x + 0.85$ ，则m=（）

A、5.5 B、6 C、6.5 D、7

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2. 两个线性相关变量 $x$ 与 $y$ 的统计数据如表：

x

9

9.5

10

10.5

11

y

11

10

8

6

5

其回归直线方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + 40$ ，则相对应于点 $(11, 5)$ 的残差为（）

A、0.1 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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3. 下列说法中不正确的是（）

A、独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法 B、独立性检验得到的结论一定是正确的 C、独立性检验的样本不同，其结论可能不同 D、独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法

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4. 已知一组样本数据点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), \dots, (x_{6}, y_{6})$ ，用最小二乘法求得其线性回归方程为 $\hat{y} = - 2 x + 4$ .若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{6}$ 的平均数为1，则 $y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{6} =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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5. 为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系，运用 $2 \times 2$ 列联表进行独立性检验，经计算 $K^{2} = 6.705$ ，则所得的结论是：有______把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”（）
附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.10

0.025

0.01

0.001

$k_{0}$

2.706

5.024

6.635

10.828

A、0.1% B、1% C、99% D、99.9%

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6. 某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

50

70

根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + 15.5$ ，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（）

A、45 B、55 C、50 D、60

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7. 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.

河流水位表（1）

第 $x$ 日	第1日	第2日	第3日	第4日	第5日	第6日	第7日
水位 $y$ （米）	3.5	3.7	3.8	3.9	4.3	4.4	4.8

而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.

水位预警分级表（2）

水位	$\geq 4.7$	$\geq 5.1$	$\geq 5.6$
水位分类	设防水位	警戒水位	保证水位
预警颜色	黄色	橙色	红色

现已根据上表得到水位 $y$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.21 x + 3.217$ ，据上表估计（）.

A、第8日将要启动洪水橙色预警 B、第10日将要启动洪水红色预警 C、第11日将要启动洪水红色预警 D、第12日将要启动洪水红色预警

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8. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $t^{*}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（ln19≈3）

A、60 B、63 C、66 D、69

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9. 调查某市出租车使用年限 $x$ 和该年支出维修费用 $y$ （万元），得到数据如下：

使用年限 $x$

2

3

4

5

6

维修费用 $y$

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

则线性回归方程是（）

A、 $\hat{y} = 2.4 x + 8.1$ B、 $\hat{y} = 1.23 x + 0.08$ C、 $\hat{y} = 1.23 x + 0.82$ D、 $\hat{y} = 1.78 x + 1.02$

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10. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b x^{2}$ C、 $y = a + b e^{x}$ D、 $y = a + b \ln x$

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11. 下列说法错误的是（）

A、在回归分析中，回归直线始终过样本点（ x₁ ， y₁），（ x₂ ， y₂ ），…，（ x_n ， y_n）的中心（ $\bar{x}, \bar{y}$ ） B、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0 C、在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D、在线性回归模型中，相关指数R²越接近于1，说明回归的效果越好

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12. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

	优秀	非优秀	总计
甲班	10	b
乙班	c	30
总计105

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 $\frac{2}{7}$ ，则下列说法正确的是（）

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

附表：

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

A、列联表中c的值为30，b的值为35 B、列联表中c的值为15，b的值为50 C、根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D、根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

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二、多选题

13. 为了对变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性进行检验，由样本点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(x_{10}, y_{10})$ 求得两个变量的样本相关系数为 $r$ ，那么下面说法中错误的有（）

A、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = 1$ B、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = - 2$ C、若 $| r |$ 越大，则变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性越强 D、若 $| r |$ 越小，则变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性越强

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14. 在2020年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 $x$ 元和销售量 $y$ 件之间的一组数据如表所示：

价格 $x$

9

9.5

10

10.5

11

销售量 $y$

11

10

8

6

5

根据公式计算得相关系数 $| r | = 0.986$ ，其线性回归直线方程是： $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，则下列说法正确的有（）

参考： $r_{0.01} = 0.959$

A、有 $99 %$ 的把握认为变量 $x ， y$ 具有线性相关关系 B、回归直线恒过定点 $(10 ， 8)$ C、 $\hat{a} = 40$ D、当 $x = 8.5$ 时， $y$ 的估计值为12.8

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三、填空题

15. 具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，满足一组数据如下表所示：若 $y$ 与 $x$ 的回归直线 $\hat{y} = 3 x - \frac{3}{2}$ ，则 $m$ 的值是.

$x$

0

1

2

3

$y$

-1

1

$m$

8

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16. 某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H₀：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用2×2列联表计算得K²≈3.918，经查临界值表知P(K²≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.

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17. ①回归分析中，相关指数 $R^{2}$ 的值越大，说明残差平方和越大；
②对于相关系数 $r$ ， $| r |$ 越接近1，相关程度越大， $| r |$ 越接近0，相关程度越小；

③有一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 得到的回归直线方程为 $\hat{y} = b x + a$ ，那么直线 $\hat{y} = b x + a$ 必经过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ ；

④ $K^{2}$ 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合；

以上几种说法正确的序号是．

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18. 在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取

100

只小鼠进行试验，得到如下联表：

	感染	未感染	总计
服用	10	40	50
未服用	20	30	50
总计	30	70	100

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参照附表，在犯错误的概率最多不超过（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”．

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四、解答题

19. 江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中，共调查了100名学生，其中男、女生各50人，男生中选历史15人，女生中选物理10人.
附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (χ^{2} \geq x_{0})$

0.010

0.005

0.001

$x_{0}$

6.635

7.879

10.828

(1)、请根据以上数据建立一个 $2 \times 2$ 列联表；

(2)、判断性别与选科是否相关.

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20. 某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y表示第x天参加该活动的人数，得到统计表格如下，经计算得 $\bar{y} = 13$ .

x

1

2

3

4

5

y

4

m

10

23

22

参考公式：

$b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot x^{- 2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）.

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21. 这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期

x

和全国累计报告确诊病例数量

y

（单位：万人）之间的关系如下表：

日期 $x$	1	2	3	4	5	6	7
确诊病例数量 $y$ （万人）	1.4	1.7	2.0	2.4	2.8	3.1	3.5

参考数据如下表：

$\bar{ω}$	$\sum_{i = 1}^{7} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} ω_{i} y_{i}$
1.92	16.9	77.5	35.17

表中 $ω_{i} = \sqrt{x_{i}}$ ， $\bar{ω} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{n} ω_{i}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots \dots + a_{n}$ .

参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ ， $(u_{2}, v_{2})$ ，…， $(u_{n}, v_{n})$ 其回归方程 $v = \hat{α} + \hat{β} u$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：① $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ，② $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据表中的数据，

y = a + b x

与

y = c + d \sqrt{x}

哪一个适宜作为确诊病例数量

y

关于日期

x

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程；（精确到0.01）

(3)、预测2月16日全国累计报告确诊病例数.

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22. 《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；

(2)、该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间 $y$ （单位：小时）与年龄 $x$ （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：

年龄 $x$

20

30

40

50

每周学习诗词的平均时间 $y$

3

3.5

3.5

4

由表中数据分析， $x$ 与 $y$ 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.

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23. 某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、画出散点图；

(2)、求y关于x的线性回归方程.

(3)、如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？

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24. 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间

t

（分钟）和答对人数

y

的统计表格如下：

时间 $t$ （分钟）	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
答对人数 $y$	98	70	52	36	30	20	15	11	5	5
$\lg y$	1.99	1.85	1.72	1.56	1.48	1.30	1.18	1.04	0.7	0.7

时间 $t$ 与答对人数 $y$ 的散点图如图：

附： $\sum t_{i}^{2} = 38500$ ， $\sum y_{i} = 342$ ， $\sum \lg y_{i} = 13.5$ ， $\sum t_{i} y_{i} = 10960$ ， $\sum t_{i} \lg y_{i} = 620.9$ ，对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，……， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .请根据表格数据回答下列问题：

(1)、根据散点图判断，

y = a t + b

与

\lg y = c t + d

，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果，建立y与t的回归方程；（数据保留3位有效数字）

(3)、根据（2）请估算要想记住

75 %

的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍.（参考数据：

\lg 2 \approx 0.3

，

\lg 3 \approx 0.48

）

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.025	0.01	0.001
$k_{0}$	2.706	5.024	6.635	10.828

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	6.635	7.879	10.828

年龄 $x$	20	30	40	50
每周学习诗词的平均时间 $y$	3	3.5	3.5	4

x	2	4	5	6	8
y	3	4.5	m	7.5	9

x	9	9.5	10	10.5	11
y	11	10	8	6	5

使用年限 $x$	2	3	4	5	6
维修费用 $y$	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

价格 $x$	9	9.5	10	10.5	11
销售量 $y$	11	10	8	6	5

人教新课标A版 选修2-3 第三章统计案例

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

人教新课标A版选修2-3 第三章统计案例