人教新课标A版选修2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用

试卷更新日期：2020-11-30 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：

x

2

4

5

6

8

y

3

4.5

m

7.5

9

若其回归直线方程是 $y = 1.05 x + 0.85$ ，则m=（）

A、5.5 B、6 C、6.5 D、7

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2. 两个线性相关变量 $x$ 与 $y$ 的统计数据如表：

x

9

9.5

10

10.5

11

y

11

10

8

6

5

其回归直线方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + 40$ ，则相对应于点 $(11, 5)$ 的残差为（）

A、0.1 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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3. 观察下列各图形，

其中两个变量 $x ， y$ 具有相关关系的图是（）

A、①② B、①④ C、③④ D、③

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4. 已知一组样本数据点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), \dots, (x_{6}, y_{6})$ ，用最小二乘法求得其线性回归方程为 $\hat{y} = - 2 x + 4$ .若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{6}$ 的平均数为1，则 $y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{6} =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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5. 某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：

广告费用 $x$ (万元)

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

销售额 $y$ (万元)

3

4

6

5

7

销售额 $y$ (万元)与广告费用 $x$ (万元)之间有线性相关关系，回归方程为 $\hat{y} = 7 x + m$ ( $m$ 为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为（）万元.

A、0.75 B、0.9 C、1.5 D、2.5

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6. 为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表：

零件数 $x$ （个）

1

3

5

7

加工时间 $y$ （分钟）

0.5

a

2

2.5

若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为 $\hat{y} = 0.36 x + 0.01$ ，则a＝（）

A、1 B、0.8 C、1.09 D、1.5

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7. 调查某市出租车使用年限 $x$ 和该年支出维修费用 $y$ （万元），得到数据如下：

使用年限 $x$

2

3

4

5

6

维修费用 $y$

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

则线性回归方程是（）

A、 $\hat{y} = 2.4 x + 8.1$ B、 $\hat{y} = 1.23 x + 0.08$ C、 $\hat{y} = 1.23 x + 0.82$ D、 $\hat{y} = 1.78 x + 1.02$

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8. 已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

由上表可得线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.08$ ，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9. 某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

50

70

根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 6.5 x + 15.5$ ，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（）

A、45 B、55 C、50 D、60

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10. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b x^{2}$ C、 $y = a + b e^{x}$ D、 $y = a + b \ln x$

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11. 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.

河流水位表（1）

第 $x$ 日	第1日	第2日	第3日	第4日	第5日	第6日	第7日
水位 $y$ （米）	3.5	3.7	3.8	3.9	4.3	4.4	4.8

而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.

水位预警分级表（2）

水位	$\geq 4.7$	$\geq 5.1$	$\geq 5.6$
水位分类	设防水位	警戒水位	保证水位
预警颜色	黄色	橙色	红色

现已根据上表得到水位 $y$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.21 x + 3.217$ ，据上表估计（）.

A、第8日将要启动洪水橙色预警 B、第10日将要启动洪水红色预警 C、第11日将要启动洪水红色预警 D、第12日将要启动洪水红色预警

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12. 下列说法错误的是（）

A、在回归分析中，回归直线始终过样本点（ x₁ ， y₁），（ x₂ ， y₂ ），…，（ x_n ， y_n）的中心（ $\bar{x}, \bar{y}$ ） B、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0 C、在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D、在线性回归模型中，相关指数R²越接近于1，说明回归的效果越好

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二、多选题

13. 为了对变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性进行检验，由样本点 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(x_{10} ， y_{10})$ 求得两个变量的样本相关系数为 $r$ ，那么下面说法中错误的有（）

A、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = 1$ B、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = - 2$ C、若 $| r |$ 越大，则变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性越强 D、若 $| r |$ 越小，则变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性越强

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14. 在2020年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 $x$ 元和销售量 $y$ 件之间的一组数据如表所示：

价格 $x$

9

9.5

10

10.5

11

销售量 $y$

11

10

8

6

5

根据公式计算得相关系数 $| r | = 0.986$ ，其线性回归直线方程是： $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，则下列说法正确的有（）

参考： $r_{0.01} = 0.959$

A、有 $99 %$ 的把握认为变量 $x ， y$ 具有线性相关关系 B、回归直线恒过定点 $(10 ， 8)$ C、 $\hat{a} = 40$ D、当 $x = 8.5$ 时， $y$ 的估计值为12.8

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三、填空题

15. 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，那么表中 $m$ 的值为．

$x$

3

4

5

6

$y$

2.5

$m$

4

4.5

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16. 为了了解家庭月收入 $x$ （单位：千元）与月储蓄 $y$ （单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出 $x$ 与 $y$ 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.3 x - 0.4$ ，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为千元.

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17. 已知 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据：

x

2

4

6

8

y

1

3

5

7

则 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点．

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18. 以下几个命题中：
①线性回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 恒过样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ；

②用相关指数 $R^{2}$ 可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；

③随机误差是引起预报值 $\hat{y}$ 和真实值 $y$ 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；

④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数 $R^{2}$ 等于相关系数 $r$ 的平方.

其中真命题为

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四、解答题

19. 某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y表示第x天参加该活动的人数，得到统计表格如下，经计算得 $\bar{y} = 13$ .

x

1

2

3

4

5

y

4

m

10

23

22

参考公式：

$b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot x^{- 2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）.

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20. 这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期

x

和全国累计报告确诊病例数量

y

（单位：万人）之间的关系如下表：

日期 $x$	1	2	3	4	5	6	7
确诊病例数量 $y$ （万人）	1.4	1.7	2.0	2.4	2.8	3.1	3.5

参考数据如下表：

$\bar{ω}$	$\sum_{i = 1}^{7} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} ω_{i} y_{i}$
1.92	16.9	77.5	35.17

表中 $ω_{i} = \sqrt{x_{i}}$ ， $\bar{ω} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{n} ω_{i}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots \dots + a_{n}$ .

参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ ， $(u_{2}, v_{2})$ ，…， $(u_{n}, v_{n})$ 其回归方程 $v = \hat{α} + \hat{β} u$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：① $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ，② $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据表中的数据，

y = a + b x

与

y = c + d \sqrt{x}

哪一个适宜作为确诊病例数量

y

关于日期

x

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程；（精确到0.01）

(3)、预测2月16日全国累计报告确诊病例数.

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21. 为了解某地区某种农产品的年产量 (单位：吨)对价格 $y$ (单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：

x

2

3

4

5

6

y

8

6

5

4

2

已知x和 $y$ 具有线性相关关系.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ .

(1)、求 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ；

(2)、求y关于x的线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(3)、若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格.

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22. 某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、画出散点图；

(2)、求y关于x的线性回归方程.

(3)、如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？

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23. 《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；

(2)、该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间 $y$ （单位：小时）与年龄 $x$ （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：

年龄 $x$

20

30

40

50

每周学习诗词的平均时间 $y$

3

3.5

3.5

4

由表中数据分析， $x$ 与 $y$ 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.

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24. 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间

t

（分钟）和答对人数

y

的统计表格如下：

时间 $t$ （分钟）	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
答对人数 $y$	98	70	52	36	30	20	15	11	5	5
$\lg y$	1.99	1.85	1.72	1.56	1.48	1.30	1.18	1.04	0.7	0.7

时间 $t$ 与答对人数 $y$ 的散点图如图：

附： $\sum t_{i}^{2} = 38500$ ， $\sum y_{i} = 342$ ， $\sum \lg y_{i} = 13.5$ ， $\sum t_{i} y_{i} = 10960$ ， $\sum t_{i} \lg y_{i} = 620.9$ ，对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，……， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .请根据表格数据回答下列问题：

(1)、根据散点图判断，

y = a t + b

与

\lg y = c t + d

，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果，建立y与t的回归方程；（数据保留3位有效数字）

(3)、根据（2）请估算要想记住

75 %

的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍.（参考数据：

\lg 2 \approx 0.3

，

\lg 3 \approx 0.48

）

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广告费用 $x$ (万元)	0.2	0.4	0.5	0.6	0.8
销售额 $y$ (万元)	3	4	6	5	7

零件数 $x$ （个）	1	3	5	7
加工时间 $y$ （分钟）	0.5	a	2	2.5

年龄 $x$	20	30	40	50
每周学习诗词的平均时间 $y$	3	3.5	3.5	4

x	2	4	5	6	8
y	3	4.5	m	7.5	9

x	9	9.5	10	10.5	11
y	11	10	8	6	5

使用年限 $x$	2	3	4	5	6
维修费用 $y$	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

人教新课标A版 选修2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

人教新课标A版选修2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用