高中数学高三平面几何基础练习

试卷更新日期：2020-11-29 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为（　　）

A、y=± $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x B、y=± $\sqrt{3}$ x C、y=± $\frac{1}{2}$ x D、y=±x

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2. 平行于直线 $x + y + 1 = 0$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的直线的方程是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线l经过双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）

A、 $1 < e < \frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $1 < e < \sqrt{10}$ C、 $e > \frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $e > \sqrt{10}$

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4. 已知P为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，若 $| P F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且直线 $P F_{2}$ 与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{3} x$

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5. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 y + 14 = 0$ ，直线 $l$ ： $m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点.设圆 $C$ 上任意一点 $P$ 到直线的距离 $l$ 为 $d$ ，若 $d$ 取最大值时， $Δ P A B$ 的面积（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、8 C、6 D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 过点 $(0 ， 1)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 交圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则弦 $A B$ 的长为（）

A、 B、 C、 $2 \sqrt{2}$ D、

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7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 在抛物线 $C$ 上，过线段 $A B$ 的中点 $M$ 作抛物线 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $N$ ，若 $∠ A F B = 90 °$ ，则 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若 $Δ O M N$ 为直角三角形，则 $| M N |$ =（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．

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10. 设椭圆的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A,B两点，若 $Δ A F_{1} B$ 为等边三角形，则该椭圆的离心率为

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a + 1} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的距离的最小值为.

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12. 已知双曲线 $x^{2} + n y^{2} = 1 (n \in R)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为．

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13. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = x + m ， m \in R}$ ，集合 $B ={(x ， y) | y = 1 - \sqrt{4 - x^{2}}}$ ，若 $A \cap B$ 有两个元素，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = x + sin x (x \in R)$ ，且点 $M (x ， y)$ 满足条件 $f (y^{2} - 2 y + 3) + f (x^{2} - 4 x + 1) \leq 0$ ，若点 $A (0 ， 3)$ 关于直线 $l ： x + y + 1 = 0$ 的对称点是 $B$ ，则线段 $B M$ 的最小值是．

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15. 已知直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 截圆 $Ω ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 所得的弦长为 $\sqrt{14}$ ，点 $M ， N$ 在圆 $Ω$ 上，且直线 $l^{'} ： (1 + 2 m) x + (m - 1) y - 3 m = 0$ 过定点 $P$ ，若 $P M ⊥ P N$ ，则 $| M N |$ 的取值范围为．

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16. 已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 在第一象限上的动点，过点P引圆x²+y²=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F的距离的最小值为2．

(1)、求a，b的值；

(2)、设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N
①当过点A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos∠AMB= $\frac{\sqrt{65}}{65}$ ，求△ABM的面积．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = \sqrt{2} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$ .
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P的直角坐标为 $(1, 0)$ ，若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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19. 已知点D是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上一点，F₁ ， F₂分别为C的左、右焦点，|F₁F₂|=2 $\sqrt{2}$ ，∠F₁DF₂=60°，△F₁DF₂的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，当k₁k₂最大时，求直线l的方程．

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20. $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M ， F ， O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线 $l ： x = m y + \frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A ， B ， l$ 与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D ， E$ ，求当 $\frac{1}{2} \leq m \leq 2$ 时， ${| A B |}^{2} + {| D E |}^{2}$ 的最小值.

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21. 过抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A ， B$ 两点，抛物线在 $A ， B$ 处的切线交于 $E$ .

(1)、求证： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、设 $\overset{⇀}{A F} = λ \overset{⇀}{F B}$ ，当 $λ \in [\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ 时，求 $Δ A B E$ 的面积 $S$ 的最小值.

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二、填空题

三、解答题

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