初中数学浙教版八年级上学期期末培优专题3 直角三角形

试卷更新日期：2020-11-26 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图， $△ A B C$ 中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝4，则AB的长度为（　　）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、5

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2. 等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $4 \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{15}$

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3. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（）

A、6 B、8.5 C、 $\frac{20}{13}$ D、 $\frac{60}{13}$

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4. 如图，方格中的点A，B，C，D，E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是（）

A、2和3 B、3和3 C、2和4 D、3和4

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5. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、5，8，10 B、8，15，17 C、4，5，7 D、7，19，21

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6. 如图， $A B = B C = C D = D E = 1$ ，且 $B C ⊥ A B$ ， $C D ⊥ A C$ ， $D E ⊥ A D$ ，则线段 $A E$ 的长为（）

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

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7. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 10 ， A C = 8 ， B C = 6 ， A B$ 的垂直平分线分别交 $A C ， A B$ 于 $D ， E ，$ 连接 $B D$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{25}{4}$

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8. 如图，高速公路上有 $A$ 、 $B$ 两点相距 $25 km$ ， $C$ 、 $D$ 为两村庄，已知 $D A = 10 km$ ， $C B = 15 km$ ， $D A ⊥ A B$ 于 $A$ ， $C B ⊥ A B$ 于 $B$ ，现要在 $A B$ 上建一个服务站 $E$ ，使得 $C$ 、 $D$ 两村庄到 $E$ 站的距离相等，则 $A E$ 的长是（） $km$ .

A、 $5$ B、 $10$ C、 $15$ D、 $25$

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9. 如图，小巷左、右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙角的距离为1米，梯子顶端距离地面3米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上，此时梯子顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）

A、 $(\sqrt{6} + 1)$ 米 B、3米 C、 $\frac{5}{2}$ 米 D、2米

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10. 如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB=5m，OB=3m。若B端沿地面OB方向外移0.5m，则A端沿垂直于地面AC方向下移（）

A、等于0.5m B、小于0.5m C、大于0.5m D、不确定

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11. 如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯内壁，离杯上沿2cm与蜂蜜正相对的点A处，则蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距离为（）

A、13cm B、 $\sqrt{61}$ cm C、2 $\sqrt{61}$ cm D、20cm

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12. 如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点 $B$ 离点 $C$ 的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 $A$ 爬到点 $B$ ，需要爬行的最短距离是（）

A、35 B、 $10 \sqrt{5} + 5$ C、25 D、 $5 \sqrt{21}$

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13. 意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理.小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形 $A B C D E F$ 由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.已知六边形 $A B C D E F$ 的面积为28， $S_{正方形 A B G F} ： S_{正方形 C D E G} = 4 ： 1$ .小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中 $∠ B^{'} A^{'} F^{'} = 90 °$ ，则四边形 $B^{'} C^{'} E^{'} F^{'}$ 的面积为（）

A、16 B、20 C、22 D、24

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14. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ．若S₁+S₂+S₃＝12，则下列关于S₁、S₂、S₃的说法正确的是（　　）

A、S₁＝2 B、S₂＝3 C、S₃＝6 D、S₁+S₃＝8

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15. 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）

A、40 B、44 C、84 D、88

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二、填空题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中，∠ABC＝90°，分别以 $△ A B C$ 的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为100，76．则字母a代表的正方形的面积是．

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17. 如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A ， B之间的距离为d等于．

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18. 如图，已知AB⊥BD ， AB∥ED ， AB=ED ，要证明ΔABC≌ΔEDC ，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为；若添加条件AC=EC ，则可以用方法判定全等.

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19. 如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是.（填SAS或AAS或HL）

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20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是BC上一点，过点M作MD⊥AB于点D，且MC=MD，如果AC=8，AB=10，那么BD=.

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21. 如图， $△$ ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.若BE=6，CF=8，则 $△$ DEF的面积是

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22. 如图，AP平分∠NAM，PC＝PB，AB＞AC，PD⊥AB于D，∠DPB＝50°，则∠ACP的度数是.

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23. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 $A$ 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 $C_{1}$ 处（三条棱长如图所示），问最短路线长为.

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24. 如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，则BE的长为.

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25. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C 、 B D$ 交于点O．若 $A D = 2 ， B C = 4$ ，则 $A B^{2} + C D^{2} =$ ．

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三、解答题

26. 已知：如图，点B，F，C，E在同一直线上， $A C$ ， $D F$ 相交于点G， $A B ⊥ B E$ ，垂足为B， $D E ⊥ B E$ ，垂足为E，且 $A C = D F$ ， $B F = C E$ ．求证： $∠ A C B = ∠ D F E$ ．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，分别以 $A B$ 、 $A C$ 为边在 $△ A B C$ 的外侧作等边 $△ A B E$ 和等边 $△ A C D$ ，连接 $D E$ 与 $A B$ 交于点F，若 $A F = \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 的长是多少？

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四、综合题

28. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝ $\sqrt{65}$

(1)、求AC、CE的长；

(2)、求证：∠ACE＝90°．

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29. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为6²+8²＝4×5²＝100，所以这个三角形是常态三角形．

(1)、若 $△ A B C$ 三边长分别是2， $\sqrt{5}$ 和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；

(2)、若 $R t △ A B C$ 是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；

(3)、如图， $R t △ A B C$ 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AD=DB=DC，若 $△ B C D$ 是常态三角形，求 $△ A B C$ 的面积．

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30. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，AB=10，CD=3.

(1)、求DE的长

(2)、求△BDE的面积.

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31. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9.

(1)、求CD的长.

(2)、求AD的长.

(3)、△ABC是直角三角形吗？请说明理由.

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32. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：

(1)、边AC、AB、BC的长；

(2)、求△ABC的面积；

(3)、点C到AB边的距离.

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33. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

(1)、特例感知
等腰直角三角形勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；

(2)、如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若 $B D = 2 A D = 2$ ，试求线段CD的长度．

(3)、深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB ， CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；

(4)、推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中 $A B = A C > B C$ ，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E ．若 $C E = a$ ，试求线段DE的长度．

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34.

(1)、如图1，AD平分∠BAC ， AE⊥BC ， ∠B＝30°，∠C＝70°．∠BAC＝°，∠DAE＝°；

(2)、如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；

(3)、如图3，AD平分∠BAC ， AE平分∠BEC ， ∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．

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35. 阅读材料：分析探索题：细心观察如图⑴，认真分析各式，然后解答问题.
$O A_{2}^{2} = {(2)}^{2} + 4 = 8$       $S_{1} = 2$ ；

$O A_{3}^{2} = {(\sqrt{8})}^{2} + 4 = 12$     $S_{2} = \frac{2 \sqrt{8}}{2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ；

$O A_{4}^{2} = {(\sqrt{12})}^{2} + 4 = 16$     $S_{3} = \frac{2 \sqrt{12}}{2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ ……

(1)、请用含有 $n$ （ $n$ 为正整数）的等式 $S_{n} =$ ；

(2)、推算出 $O A_{10} =$ .求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} +$ …… $+ S_{10}^{2}$ 的值.

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36. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝6，D是AB边上任意一点，连接CD ，以CD为直角边向右作等腰直角△CDE ，其中∠DCE＝90°，CD＝CE ，连接BE ．

(1)、求证：AD＝BE；

(2)、当△CDE的周长最小时，求CD的值；

(3)、求证： $A D^{2} + D B^{2} = 2 C E^{2}$ ．

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37. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 5 ， 0)$ ， $B (0 ， 5)$ ，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作 $A D ⊥ B C$ 交y轴于点E.

(1)、如图 $①$ ，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；

(2)、如图 $②$ ，若点C在x轴正半轴上运动，且 $O C < 5$ ，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分 $∠ A D C$

(3)、若点C在x轴正半轴上运动，当 $∠ O C B = 2 ∠ D A O$ 时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明.

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38. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ ），大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a ， b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

(1)、图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

(2)、如图③，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，设 $B D = x$ ，求 $x$ 的值．

(3)、试构造一个图形，使它的面积能够解释 $(a + b) (a + 2 b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ ，画在如图4的网格中，并标出字母 $a ， b$ 所表示的线段．

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39. 如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成正方形ABCD．

(1)、正方形ABCD的面积为，边长为，对角线BD=；

(2)、求证： $A B^{2} + A D^{2} = B D^{2}$ ；

(3)、如图②，将正方形ABCD放在数轴上，使点B与原点O重合，边AB落在x轴的负半轴上，则点A所表示的数为，若点E所表示的数为整数，则点E所表示的数为

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40. 综合与实践：
如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ， $B D = 8 c m$ 且 $C D ： A D = 2 ： 3$ ；如图2，在图1的基础上，动点 $P$ 从点 $A$ 出发以每秒 $2 c m$ 的速度沿线段 $A B$ 向点 $B$ 运动，同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发以相同速度沿线段 $C A$ 向点 $A$ 运动，当其中一点到达终点时另外一点也随之停止运动，设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒.

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、当 $△ P D Q$ 的其中一边与 $B C$ 平行时（ $Q$ 与 $D$ 不重合），求 $t$ 的值；

(3)、点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动的过程中，是否存在以 $A D$ 为腰的 $△ P A D$ 是等腰三角形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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