天津市和平区2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集为 $U = {x \in N | x < 7}$ .集合A={1，3，6 }，集合B={2，3，4，5}．则集合 $A \cap ∁_{U} B =$ （）．

A、{3} B、 ${1, 3, 6}$ C、 ${2, 4, 5}$ D、 ${1, 6}$

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2. 设x∈R.则“ $x \leq 3$ ”是“ $x^{2} - 3 x \leq 0$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{x^{3} (e^{x} - 1)}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{- 0.2} ， b = \log_{2} \frac{1}{3} ， c = \lg \frac{3}{2}$ .则a.b.c的大小关系是（）．

A、a＞c＞b B、b＞c＞a C、c＞a＞b D、c＞b＞a

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5. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示.则 $f (x)$ 的解析式为（）．

A、 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sin (3 x - \frac{3 π}{4})$

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6. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 1$ . 则 $a_{8}$ 的值为（）．

A、65 B、16 C、15 D、14

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} (x + 2) - 1$ ，则 $f (- 6) =$ （）

A、2 B、4 C、-2 D、-4

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8. 若将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后.得到的函数图象关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称.则函数 $g (x) = \cos (x + φ)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值是（）．

A、-1 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 4 a ， x > 0 ， \\ 1 + l o g_{a} | x - 1 | ， x \leq 0 . \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增.且关于 $x$ 的方程 $| f (x) | = x + 3$ 恰有两个不相等的实数解.则实数 $a$ 的取值范围是（）．

A、 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{4}] \cup {\frac{13}{16}}$ B、 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{4}) \cup {\frac{13}{16}}$ C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{13}{16})$ D、 $(0 ， \frac{3}{4}) \cup {\frac{13}{16}}$

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二、填空题

10. 设i是虚数单位.复数 $\frac{3}{{(1 - i)}^{2}} =$ ．

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11. $\forall x \in R ， a x^{2} + a x - 2 < 0$ 都成立.则 $a$ 的取值范围是．

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12. 在 $△ A B C$ 中. $A C = \sqrt{7} ， B C = 2 ， B = 60 °$ .则 $△ A B C$ 的面积等于．

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13. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和. $n \in N^{*}$ .若 $a_{3} = 11 ， S_{20} = - 80$ ．则 $S_{10}$ 的值为．

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14. 已知 $x ， y$ 均为正实数. $x + y = 1$ .则 $\frac{y}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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15. 若函数 $f (x) = \log_{a} (4 - a x^{2})$ 在 $(0, 1)$ 上为减函数.则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x)$ 为二次函数. $f (x)$ 的图象过点 $(0, 2)$ .对称轴为 $x = - 1$ .函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的最小值为 $- 1$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）当 $x \in [a - 2, a] ， a \in R$ 时.求函数 $f (x)$ 的最小值（用 $a$ 表示）.

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c .$ 已知 $a \sin C = c \sin (A + \frac{π}{3})$ .
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）设 $b = 6$ ， $c = 4$ . 求 $a$ 和 $\cos (A - 2 C)$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）若 $0 < α < \frac{π}{2} ，$ 且 $\sin α = \frac{1}{3}$ .求 $f (α)$ ；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} + a x - a)$ ，其中 $a$ 是常数.
(Ⅰ)当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）若存在实数 $k$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = b_{2} = 2$ ， $b_{n + 1} b_{n} = 2^{n + 1} (n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} (b_{2 i - 1} - \frac{1}{b_{2 i}}) (n \in N^{*})$ ．

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