江西赣州市十五县（市)2021届高三上学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2020-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | \lg (3 - 2 x) < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ B、 $[1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2} ， 3]$

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2. 下列说法正确的是（ $)$

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 既是奇函数又在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增 B、若命题 $p, \neg q$ 都是真命题，则命题 $p \land q$ 为真命题 C、命题：“若 $x y = 0$ ，则 $x = 0$ 或 $y = 0$ 的否命题为若 $x y \neq 0$ ，则 $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$ ” D、命题“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R$ ， $2^{x_{0}} \leq 0$ ”

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3. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ， $g (x) = x^{2} - a$ ，若 $f [g (1)] = 1$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、2 D、3

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4. 已知 $a = \log_{5} 26$ ， $b = \sqrt[5]{9}$ ， $c = {0.6}^{0.9}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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5. 函数y＝1＋x＋ $\frac{\sin x}{x^{2}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $3 \cos 2 α = 2 \sin (\frac{π}{4} - α)$ ，则 $\cos 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 将函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，那么下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $g (x)$ 是偶函数 C、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称

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8. 若命题“ $\exists x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ， $x^{2} - 2 a x + 1 > 0$ ”是真命题，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{5}{4})$ B、 $(\frac{5}{4}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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9. 已知奇函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ， $f (x)$ 图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线过点 $(1 ， 4)$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、8 C、4 D、5

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10. 设函数 $f (x) = x e^{- a x} - \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，则实数a的取值范围（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{e})$ B、 $(1 ， e)$ C、 $(\frac{1}{e} ， \frac{2}{e})$ D、 $(0 ， \frac{2}{e})$

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11. 已知 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 、 $\overset{⇀}{e}$ 是平面向量， $\overset{⇀}{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 满足 ${\overset{⇀}{b}}^{2} - 4 \overset{⇀}{e} \cdot \overset{⇀}{b} + 3 = 0$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、2 D、 $2 - \sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{k}}{k} \ln x + \frac{1}{x} - x ， k \in (0 ， + \infty)$ ，曲线 $y = f (x)$ 上总存在两点 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 使曲线 $y = f (x)$ 在 $M ， N$ 两点处的切线互相平行，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{4}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{e} ， + \infty)$ D、 $(\frac{4}{e^{2}} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \log_{3} (- x^{2} + 4 x + 5)$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递减区间为.

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (- 3) = 0$ ，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式可 $x f (x) > 0$ 的解集为.

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16. 已知函数 $y = {\begin{array}{l} \cos x ， x \in [2 k π - \frac{π}{2} ， 2 k π + \frac{π}{2}) (k \in Z) \\ - \cos x ， x \in [2 k π + \frac{π}{2} ， 2 k π + \frac{3 π}{2}) (k \in Z) \end{array}$ 的图象与直线 $y = m (x + 2) (m > 0)$ 恰有四个公共点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ， $D (x_{4} ， y_{4})$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(x_{4} + 2) \tan x_{4} =$ .

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三、解答题

17. 设命题p：实数x满足 $x^{2} - (2 a + 1) x + 2 a \leq 0$ ，其中 $a > 0$ ，命题q：实数x满足 $| x - 3 | < 2$ .

(1)、若 $a = 1$ ，且 $p \land q$ 为真，求实数x的取值范围.

(2)、若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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18. 已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边，且满足 $(b \cos C + c \cos B) \sin B = - \sqrt{3} b \cos A$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、设 $a = \sqrt{3}$ ，S为 $△ A B C$ 的面积，求 $S + \sqrt{3} \cos B \cos C$ 最大值.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\cos (π - x) ， 2 \sin x)$ ， $\vec{b} = (2 \sin x ， \cos (\frac{π}{2} + x))$ ，设函数 $f (x) = 1 - \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的函数图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图像，若关于x的方程 $m = f (x) - g (x) (x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}])$ 有两个不同的实根，求m的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e^{2} x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in (0 ， 1)$ 时，总有 $f (x) > x e^{x} - e^{2} x + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + x + \frac{a}{x} (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = x f (x) - (a + 1) x^{2} - x$ 有两个不同的极值点，记作 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2}^{2} > e^{3}$ （ $e$ 为自然对数）.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程 ${\begin{cases} x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = 1 + \frac{1}{2} t \end{cases}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (2, 1)$ ，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点为A，B，求 $| | P A | - | P B | |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 2 | - | a x - 2 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in (1, 3)$ ，使不等式 $f (x) > 2 x$ 成立，求a的取值范围.

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