湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，集合 $B = {x | y = \log_{2} (1 - x)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${1, 2}$ C、 ${- 2, - 1, 0}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1}$

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2. 某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 $60^{°}$ ，小高层底部的俯角为 $45^{°}$ ，那么这栋小高层的高度为（）

A、 $20 (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) m$ B、 $20 (1 + \sqrt{3}) m$ C、 $10 (\sqrt{2} + \sqrt{6}) m$ D、 $20 (\sqrt{2} + \sqrt{6}) m$

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3. 设 $a = \log_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{3}$ ， $c = 3^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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4. 已知命题 $p$ ， $\forall x \in R$ ， $e^{x} + \frac{1}{e^{x}} ⩾ 2$ ，则 $\neg p$ 为 $($ $)$

A、 $\exists x \in R$ ， $e^{x} + \frac{1}{e^{x}} ⩾ 2$ B、 $\exists x \in R$ ， $e^{x} + \frac{1}{e^{x}} < 2$ C、 $\exists x \in R$ ， $e^{x} + \frac{1}{e^{x}} ⩽ 2$ D、 $\forall x \in R$ ， $e^{x} + \frac{1}{e^{x}} ⩽ 2$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x \ln | x |}{| x |}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若函数 $f (x) = \sin x \cdot \ln (a x + \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{7} > 0$ ， $a_{3} + a_{9} < 0$ ，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $S_{4}$ B、 $S_{5}$ C、 $S_{6}$ D、 $S_{7}$

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8. 设函数 $f (x) = \sqrt{e^{x} + 3 x - a}$ .若曲线 $y = \sin x$ 上存在点 $(x_{0} ， y_{0})$ ，使得 $f (f (y_{0})) = y_{0}$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[1 ， e + 2]$ B、 $[e^{- 1} - 3 ， 1]$ C、 $[1 ， e + 1]$ D、 $[e^{- 1} - 3 ， e + 1]$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的有（）

A、不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 恒成立 B、存在a，使得不等式 $a + \frac{1}{a} \leq 2$ 成立 C、若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、若正实数x，y满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 8$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前4项的和为 $a_{1} + 14$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $q$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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11. 已知函数 $f (x) = cos (2 x + φ)$ $(| φ | < \frac{π}{2})$ ， $F (x) = f (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} f^{'} (x)$ 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）

A、 $\tan φ = \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上存在零点，则a的最小值为 $\frac{π}{6}$ C、 $F (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 有且仅有一个极大值点

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \ln x | ， x > 0 \\ e^{x} (x + 1) ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) + \frac{1}{16} = 0$ 有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x < 0 \\ 2^{x} - 2, x \geq 0 \end{array}$ 则 $f (f (- 2)) =$ .

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14. 已知 $x \in R$ ，条件 $p : x^{2} < x$ ，条件 $q : \frac{1}{x} \geq a$ （ $a > 0$ ），若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 若函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{20} x^{2} (x < 0)$ 的零点为 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (a, a + 1)$ ， $a \in Z$ ，则 $a$ 的值为.

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 不为0，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q$ 是小于1的正有理数，若 $a_{1} = b_{1} = d$ ，且 $\frac{a_{1} + a_{2} + a_{4}}{b_{1} + b_{2} + b_{3}}$ 是正整数，则 $q =$ .

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四、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对应边分别为 $a, b, c$ ，
在① $\sqrt{3} \cos C (a \cos B + b \cos A) = c \sin C$

② $a \sin \frac{A + B}{2} = c \sin A$

③ ${(\sin B - \sin A)}^{2} = \sin^{2} C - \sin B \sin A$

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求 $\sin A \cdot \sin B$ 的最大值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且2， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图， $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ， $D E = 3 A F$ ， $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $A$ 为椭圆上一动点（异于左右顶点）， $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ ( $l$ 的斜率存在且不为0）与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交x轴于点P，试判断 $\frac{| P F_{1} |}{| A B |}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得 $- 15$ 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)、设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.

(2)、玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)、玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{4}{3}$ ， $g (x) = e^{x} - a x (x \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[a - 5 ， a - 1]$ 上的最大值为 $\frac{4}{3}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $h (x) = \frac{3}{2} f (x) - x + 1$ ， $F (x) = {\begin{matrix} h (x) ， h (x) \leq g (x) \\ g (x) ， h (x) > g (x) \end{matrix}$ ，记 $x_{1} ， x_{2} ， \dots x_{n}$ 为 $F (x)$ 从小到大的零点，当 $a \geq e^{3}$ 时，讨论 $F (x)$ 的零点个数及大小.

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