海南、山东等新高考地区2021届高三上学期数学期中备考试卷（A卷)

试卷更新日期：2020-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{1 - i^{3}}{2 - a i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）．

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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2. 已知集合 $A = {x | (x + 2) (x - 2) < 5}$ ， $B = {x | \log_{2} (x - a) > 1 ， a \in N}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a$ 的可能取值组成的集合为（）

A、 ${0}$ B、{1} C、 ${0 ， 1}$ D、 $N *$

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3. 为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间 $[50 ， 100]$ 上，分组为 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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4. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减，且 $f (- 1) = 0$ ，若 $a = f (- \log_{3} 8)$ ， $b = f (- \log_{2} 4)$ ， $c = f (2^{\frac{2}{3}})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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5. 已知四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = 0$ ，若 $| \vec{A B} | = 2 | \vec{A D} | = 2$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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6. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $A_{1} D$ ， $A C$ 上的点，且满足 $A_{1} D = 3 M D$ ， $A N = 2 N C$ ，则异面直线 $M N$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，点 $A$ 是 $x$ 轴上与坐标原点 $O$ 不重合的一点，以 $O A$ 为直径的圆交直线 $l_{1}$ 于点 $O$ ， $B$ ，交直线 $l_{2}$ 于点 $O$ ， $C$ ，若 $2 | B C | = \sqrt{3} | O A |$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或2 D、 $\sqrt{3}$

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8. 若函数 $f (x) = - m x + e^{x - 2}$ 恰有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(1 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知 ${(3 x^{2} + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中各项系数之和为 $A$ ，第二项的二项式系数为 $B$ ，则（）

A、 $A = 256$ B、 $A + B = 260$ C、展开式中存在常数项 D、展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为54

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (0 < ω \leq 3)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{8}$ ， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $g (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$

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11. 如图，直接三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B C$ ，且 $A C = A A_{1} = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点， $D$ ， $M$ 分别是 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的两个动点，则（）

A、 $F M$ 与 $B D$ 一定是异面直线 B、三棱锥 $D - M E F$ 的体积为定值 $\frac{1}{3}$ C、直线 $B_{1} C_{1}$ 与 $B D$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ D、若 $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则四棱锥 $D - B B_{1} F E$ 的外接球表面积为 $5 π$

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12. 若存在两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 均在函数 $f (x)$ 的定义域内，且满足 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $T$ ，下列函数具有性质 $T$ 的是（）

A、 $f (x) = 2^{x}$ B、 $f (x) = | x^{2} - 2 x |$ C、 $f (x) = \lg x$ D、 $f (x) = x + \sin x$

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三、填空题

13. 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从6、7、8、9、10这5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为.

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，且离心率 $e = \frac{2}{3}$ ，点 $P$ 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 是腰长为4的等腰三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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15. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a b^{2} (a + 2 b) = 4$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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四、双空题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2}$ ，则 $S_{n} =$ ；若 $S_{n} \leq n a_{n} + \frac{1}{2} t$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为.

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五、解答题

17. 在① $\cos B = \frac{1}{3}$ ，② $b = 2$ ， $△ A B C$ 的周长为8，③ $c = 3$ ， $△ A B C$ 的外接圆半径为2，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b = 2 a \sin C$ ，______？求 $\sin A$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 S_{n - 1} + 2 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 b_{1} = 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{2 n} = b_{2 n - 1} + 1$ ， $b_{2 n + 1} = b_{2 n} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $10$ 项和.

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19. 在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成

A

，

B

两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：

$A$ 组	8.3	9.3	9.6	9.4	8.5	9.6	8.8	8.4	9.4	9.7
$B$ 组	8.6	9.1	9.2	8.8	9.2	9.1	9.2	9.3	8.8	8.7

(1)、分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；

(2)、在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记

X

为这2个人评分之差的绝对值，求

X

的分布列和数学期望.

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20. 如图，在多面体 $A B C D P$ 中， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $P A = A C$ ， $B D = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $P C = P B = 4 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，平面 $B D C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、求证： $D E //$ 平面 $P A C$

(2)、线段 $B C$ 上是否存在一点 $T$ ，使得二面角 $T - D A - B$ 为直二面角？若存在，试指出点 $T$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 和椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{c^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，其中 $a > c > b > 0$ ， $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，且满足 $e_{1} ： e_{2} = 2 ： \sqrt{3}$ ， $A$ ， $B$ 分别是椭圆 $C_{2}$ 的右、下顶点，直线 $A B$ 与椭圆 $C_{1}$ 的另一个交点为 $P$ ，且 $| P B | = \frac{18}{5}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、与椭圆 $C_{2}$ 相切的直线 $M N$ 交椭圆 $C_{1}$ 与点 $M$ ， $N$ ，求 $| M N |$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a e^{x} + a$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内是单调函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证：对任意 $x \in (0, + \infty)$ ，恒有 $f (x) < \cos x$ 成立.

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