河南省南阳市六校2020-2021学年高一上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-11-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列符号表述正确的是（）

A、 $0 \in N^{*}$ B、 $1.732 \notin Q$ C、 $\emptyset \in {0}$ D、 $\emptyset \subseteq {x | x \leq 2}$

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2. 已知集合 $U ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $A = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 6 ， 7}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) =$ （）

A、 ${1 ， 6}$ B、 ${1 ， 7}$ C、 ${6 ， 7}$ D、 ${1 ， 6 ， 7}$

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3. 已知函数 $y = f (x)$ ，部分x与y的对应关系如表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

3

2

1

0

0

-1

-2

-3

则 $f (f (4)) =$ （）

A、-1 B、-2 C、-3 D、3

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 2)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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5. $M = {x | 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0}$ ， $P = {x | a x = 1}$ ，若 $P \subseteq M$ ，则a的取值集合为（）

A、 ${2}$ B、 ${3}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${0 ， 2 ， 3}$

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6. 函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = a$ 的交点个数为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、无数个

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7. 下列函数为同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ B、 $f (x) = \sqrt{x} \sqrt{x + 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x (x + 1)}$ C、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t - 1$ D、 $f (x) = 1$ 与 $g (x) = x^{0} (x \neq 0)$

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8. 某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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9. 已知函数 $f (\sqrt{x} + 2) = x + 4 \sqrt{x} + 5$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ $(x \geq 2)$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x^{2}$ $(x \geq 2)$

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10. 函数 $f (x) = | x^{3} + 1 | + | x^{3} - 1 |$ ，则函数 $f (x)$ 图象（）

A、关于原点对称 B、关于直线 $y = x$ 对称 C、关于 $x$ 轴对称 D、关于 $y$ 轴对称

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11. 若 $f (x) = {\begin{matrix} (3 a - 1) x + 4 a ， x < 1 \\ - a x ， x \geq 1 \end{matrix}$ 是定义在(-∞，+∞)上的减函数，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{8} ， \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}]$

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12. 设集合M满足：若 $t \in M$ ，则 $2020 - t \in M$ ，且集合Ｍ中所有元素之和 $m \in (2020 \times 11 ， 2020 \times 12)$ ，则集合Ｍ中元素个数为（）

A、22 B、22或23 C、23 D、23或24

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二、填空题

13. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（2， $\sqrt{2}$ ），则f（9）= ．

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14. 已知集合 $A = {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 11}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 8}$ ，非空集合 $C$ 满足： $C$ 中每一个元素都加上2变成 $A$ 的一个子集， $C$ 中每一个元素都减去2变成 $B$ 的一个子集，则集合 $C$ 中元素最多有个.

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15. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 5 x - 6}}$ 的单调递减区间是.

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16. 设函数 $f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} + a^{2} x}{x^{2} + 1}$ ， $a \in R$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ .

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 5 \leq x \leq 6}$ ， $B = {x | 2 m - 1 \leq x \leq m + 1}$ .

(1)、当 $m = - 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ ．

(1)、判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；

(2)、求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．

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19. 某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的保险费为3元，当每个月使用的煤气量不超过 $a m^{3}$ 时，只缴纳基本月租费c元；如果超过这个使用量，超出的部分按b元/ $m^{3}$ 计费.

月份

煤气使用量/ $m^{3}$

煤气费/元

7

4

4

8

25

14

9

35

19

(1)、请写出每个月的煤气费 $y$ （元）关于该月使用的煤气量 $x (m^{3})$ 的函数解析式；

(2)、如果某个居民7-9月使用煤气与收费情况如上表，求出 $a ， b ， c$ ，并画出函数图象.（其中仅7月煤气使用量未超过 $a m^{3}$ ）

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20. 已知二次函数 $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， 4)$ ，对任意 $x$ 满足 $f (3 - x) = f (x)$ ，且有最小值是 $\frac{7}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在区间 $[- 1 ， 3]$ 上， $y = f (x)$ 的图象恒在函数 $y = 2 x + m$ 的图象上方，试确定实数m的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ ， $g (x) = x^{2} - b x$ ， $(a ， b \in R ， a \neq 0)$ .

(1)、若集合 ${x | f (x) = 2 x + 2}$ 为单元素集，求实数a的值；

(2)、在（1）的条件下，对任意 $m \in [2 ， 4]$ ，存在 $n \in [1 ， 5]$ ，使 $f (m) \geq g (n)$ 成立，试求实数b的取值范围.

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22. 设二次函数 $f (x) = x^{2} - (4 a - 2) x + 5 a^{2} - 4 a + 2$ ， $x \in [0 ， 1]$ 的最小值为 $g (a)$ .

(1)、求 $g (a)$ 的解析式；

(2)、求 $g (a)$ 的最小值.

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月份	煤气使用量/ $m^{3}$	煤气费/元
7	4	4
8	25	14
9	35	19