福建省泉州市2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\sqrt{x + 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x > 0$ C、 $x \leq - 1$ D、 $x \geq - 1$

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2. 若 $\frac{a}{b} = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{a + b}{a} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{7}{2}$

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3. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{27}$

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4. 某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件.设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为 $x$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $8 (1 + 2 x) = 11$ B、 $8 {(1 + x)}^{2} = 11$ C、 $8 {(1 + 2 x)}^{2} = 11$ D、 $8 + 8 (1 + x) + 8 {(1 + 2 x)}^{2} = 11$

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5. 如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 $\frac{4}{9}$ ，则AO：AD的值为（）

A、2：3 B、2：5 C、4：9 D、4：13

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6. 利用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 时，将方程配方为 $t = \frac{3}{2} \sqrt{5}$ ，则 $m$ 、 $n$ 的值分别为（）

A、 $m = 9$ ， $n = 2$ B、 $m = - 3$ ， $n = - 2$ C、 $m = 3$ ， $n = 0$ D、 $m = 3$ ， $n = 2$

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7. 如图为某一试验结果的频率随试验次数变化趋势图，则下列试验中不符合该图的是（）

A、掷一枚普通正六面体骰子，出现点数不超过2 B、掷一枚硬币，出现正面朝上 C、从装有2个黑球、1个白球的不透明布袋中随机摸出一球为白球 D、从分别标有数字l，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片中，随机抽取一张卡片所标记的数字不小于7

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8. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱 $A C$ 高为 $a$ .已知冬至时某地的正午日光入射角 $∠ A B C$ 约为 $26.5 °$ ，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即 $B C$ 的长）约为（）

A、 $a \sin 26.5 °$ B、 $\frac{a}{\cos 26.5 °}$ C、 $a \tan 26.5 °$ D、 $\frac{a}{\tan 26.5 °}$

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $G$ ，则 $\frac{G D}{B D}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 已知实数 $a$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 7 = 0$ 的根，则 $a^{4} + a^{3} + 7 a - 1$ 的值为（）

A、48 B、49 C、50 D、51

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{32} + \sqrt{2} =$ ．

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12. 一元二次方程 $x (x + 1) - 2 (x + 1) = 0$ 的根是．

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13. 如图，河堤横断面迎水坡 $A C$ 的坡度 $i = 1 ： 2$ ，若 $B C = 30$ 米，则高度 $A B$ 为米．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 6$ ， $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 与 $B C$ 的中点，则 $M N$ 的长为．

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15. 如图，在正方形网格中， $Δ A B C$ 的三个顶点都在格点上，则 $\sin (∠ C A B + ∠ A B C) =$ ．

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16. 在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ，点 $F$ 在边 $A D$ 上，作点 $A$ 关于 $B F$ 的对称点 $G$ ，连接 $A G$ 并延长交 $C D$ 于点 $E$ ，若点 $E$ 将 $C D$ 分为 $1 ： 3$ 的两部分，则 $E G =$ ．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{8} \times \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} - 2 \cos 45 °$ .

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，有如下结论： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .试利用上述结论，解决问题：
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $3 x^{2} - x - 2019 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)$ 的值.

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19. 某校有一块矩形绿地（数据如图所示，单位： $m$ ），现在其中修建一条道路（阴影所示），若所修建道路的面积为 $325 m^{2}$ ，求 $x$ 的值.

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + (k + 1) x + 1 = 0$ .

(1)、求证：这个方程一定有实根；

(2)、若这个方程有一根为-3，试求 $k$ 的值.

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ .

(1)、尺规作图：在线段 $C D$ 上求作一点 $E$ ，使得 $∠ A E D = 30 °$ ，（保留作图痕迹，不写作法与证明）；

(2)、连接 $B E$ ，若点 $F$ 为边 $B E$ 的中点，求证： $∠ E A F = ∠ E B C$ .

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22. 将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 在同一条直线上， $E F ∥ A B$ ， $E F = A B$ ， $∠ A C B = ∠ D E F = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ F = 30 °$ ， $B D = 3 \sqrt{3} - 3$ ，求 $C F$ 的长.

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23. 某台机床生产铸件产品，按照生产标准，铸件产品评定等级、整改费用规定如下：

重量 $a$ （单位： $k g$ ，精确到0.1）	评定等级	整改费用（单位：元/件）
$a = 30.0$	特优品
$29.9 \leq a \leq 30.1$	优等品
$29.8 \leq a \leq 30.2$	合格品
$a \leq 29.7$	不合格品	50
$a \geq 30.3$	不合格品	30

注：在统计优等品个数时，将特优品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特优品）计算在内.

现该机床生产20件产品，测量其重量，得到如下统计表：

重量 $a$

（单位： $k g$ ，精确到0.1）

$a \leq 29.7$

29.8

29.9

30.0

30.1

30.2

$a \geq 30.3$

件数

$x$

$y$

对照生产标准，发现这批铸件产品的合格率为 $80 %$ .

(1)、求

x

与

y

的值；

(2)、根据客户要求，这批铸件产品的合格率不得低于

90 %

.现决定从不合格产品中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率.

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $B$ 、 $A$ 两点，点 $C$ 是 $A B$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别为线段 $A B$ 、 $O B$ 上的动点，将 $Δ B E F$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $B$ 的对称点 $D$ 恰好落在线段 $O A$ 上（不与端点重合）.连接 $O C$ 分别交 $D E$ 、 $D F$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $F M$ .

(1)、求 $\tan ∠ A B O$ 的值；

(2)、试判断 $D E$ 与 $F M$ 的位置关系，并加以证明；

(3)、若 $M D = M N$ ，求点 $D$ 的坐标.

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25. 如图， $∠ M B N = 45 °$ ，点 $P$ 为 $∠ M B N$ 内的一个动点，过点 $P$ 作 $∠ B P A$ 与 $∠ B P C$ ，使得 $∠ B P A = ∠ B P C = 135 °$ ，分别交 $B M$ 、 $B N$ 于点 $A$ 、 $C$ .

(1)、求证： $Δ C P B ∽ Δ B P A$ ；

(2)、连接 $A C$ ，若 $A C ⊥ B C$ ，试求 $\frac{P C}{A C}$ 的值；

(3)、记 $A P = a$ ， $B P = b$ ， $C P = c$ ，若 $a + b - c = 20$ ， $a \geq 2 b$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为整数，求 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值.

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