福建省莆田市涵江区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + k x - 6 = 0$ 的一个根为 $x = 3$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$

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2. 抛物线y=（x﹣2）²﹣3的顶点坐标是（）

A、（2，﹣3） B、（﹣2，3） C、（2，3） D、（﹣2，﹣3）

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3. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $9$

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4. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、正方形 D、正五边形

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5. 直线 $y = - x + 2$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 的横坐标为 $- 1$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $3$

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6. 如图， $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 是直径， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ 点，则 $∠ B A D$ 等于（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 边的中点， $A E$ 交对角线 $B D$ 于点 $F$ ，若 $B D = 12$ ，则 $B F$ 等于（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $6$ D、. $8$

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8. 如图，把 $Δ A B C$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转得到 $Δ A B^{'} C^{'}$ ，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在 $B C$ 边上，若 $∠ B A B^{'} = 40 °$ ，则 $∠ C$ 为（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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9. 如图， $A$ 为 $⊙ O$ 外一点， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于 $B$ 点，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点，若 $O B = 5$ ， $A B = 12$ ，则 $A P$ 的最小值为（）

A、 $5$ B、 $8$ C、 $13$ D、 $18$

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10. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向上，对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ ，点 $A (- 2, y_{1})$ 、 $B (1, y_{2})$ 、 $C (2, y_{3})$ 都在该抛物线上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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二、填空题

11. 点 $P$ （－2，1）关于原点对称的点 $P^{'}$ 的坐标为．

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12. 如图，某小区门口的栏杆短臂 $A O = 1 m$ ，长臂 $O B = 12 m$ ．当短臂端点高度下降 $A C = 0.5 m$ ，则长臂端点高度上升 $B D$ 等于 $m$ （栏杆的宽度忽略不计）；

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13. 圆锥的底面半径为6㎝，母线长为10㎝，则圆锥的侧面积为cm²

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14. 元旦期间，九年（1）班数学研究小组的同学互送新年贺卡，如果研究小组有 $x$ 名学生，共送出 $132$ 张贺卡，那么可列出方程为；

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15. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中， $Δ A C D$ 的面积为 $6$ ，则正六边形 $A B C D E F$ 的面积为；

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16. 如图， $A$ ， $B$ 两点都在反比例函数 $y = \frac{9}{x}$ 的图象上，它们的横坐标分别为 $m$ ， $n$ （ $0 < m < n$ ），过 $B$ 点作 $B C ⊥ y$ 轴于 $C$ 点，若 $Δ A B C$ 的面积 $6$ ，则 $\frac{m}{n}$ 的值为．

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三、解答题

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 12$ ，动点 $M$ 从 $A$ 点出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度沿着 $A C$ 方向向 $C$ 点运动，动点 $N$ 从 $C$ 点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿着 $C B$ 方向向 $B$ 点运动，如果 $M$ ， $N$ 两点同时出发，当 $M$ 到达 $C$ 点处时，两点都停止运动.设运动的时间为 $t$ 秒， $Δ M C N$ 的面积为 $S$ .

(1)、用含 $t$ 的代数式表示：
$C M =$ ， $C N =$ ， $S =$ ；

(2)、求 $S$ 的最大值.

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18. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，点 $A$ ， $C$ 分别在直线 $l_{1}$ ， $l_{3}$ 上，连接 $A C$ 交直线 $l_{2}$ 于 $E$ 点， $A E = E C$ .

(1)、尺规作图：在直线 $l_{2}$ 上从左到右依次确定 $B$ ， $D$ 两点，使得四边形 $A B C D$ 是矩形（保留作图痕迹，不必写作法及证明）；

(2)、在（1）的情况下，若 $A E = 4$ ， $∠ A E B = 60 °$ ，求矩形 $A B C D$ 的周长.

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19. 求证：相似三角形对应高的比等于相似比．(请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明)

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20. 李师傅今年初开了一家商店，九月份开始赢利，十月份的赢利是 $3000$ 元，十二月份的赢利是 $3630$ 元，且从十月到十二月，每月赢利的平均增长率都相同.

(1)、求每月赢利的平均增长率；

(2)、按照这个增长率，预计明年一月份的赢利将达到多少元？

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21. 如图， $Δ A B C$ 与 $Δ D E C$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $A C = B C = 3$ ， $D C = E C = \sqrt{2}$ ， $Δ D E C$ 绕着点 $C$ 旋转.

(1)、如图1，求证： $A D = B E$ ；

(2)、如图2，当点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上，且点 $D$ 在 $Δ A B C$ 内部时，求 $A D$ 的长.

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22. 阅读理解在研究函数

y = | \frac{6}{x} |

的图象性质时，我们用“描点”的方法画出函数的图象.

列出表示几组 $x$ 与 $y$ 的对应值：

$x$	$\cdot \cdot \cdot$	$- 6$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$\cdot \cdot \cdot$
$y = \| \frac{6}{x} \|$	$\cdot \cdot \cdot$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$3$	$6$	$6$	$3$	$2$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\cdot \cdot \cdot$

描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数 $y = | \frac{6}{x} |$ 的图象，如图1：

可以看出，这个函数图象的两个分支分别在第一、二象限，且当 $x > 0$ 时，与函数 $y = \frac{6}{x}$ 在第一象限的图象相同；当 $x < 0$ 时，与函数 $y = - \frac{6}{x}$ 在第二象限的图象相同.类似地，我们把函数 $y = | \frac{k}{x} |$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ）的图象称为“并进双曲线”.

(1)、认真观察图表，分别写出“并进双曲线”

y = | \frac{6}{x} |

的对称性、函数的增减性性质：

①图象的对称性性质：；

②函数的增减性性质：；

(2)、延伸探究如图2，点M，N分别在“并进双曲线”

y = | \frac{6}{x} |

的两个分支上，

∠ M O N = 90^{°}

，判断

O M

与

O N

的数量关系，并说明理由.

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，过 $C$ 点作 $C E ⊥ A D$ 于 $E$ 点.

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10$ ， $A C = 8$ ，求 $A D$ 的长.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与 $x$ 轴相交于 $O$ ， $A$ 两点，顶点 $D$ 在第一象限，点 $P$ 在该抛物线上.

(1)、若点 $P$ 坐标为 $(1 ， 3)$ .
①求 $b$ 与 $a$ 的函数关系式；

②已知两点 $M (2 ， 0)$ ， $N (5 ， 0)$ ，当抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与线段 $M N$ 没有交点时，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $P$ 点在该抛物线的曲线段 $O D$ 上（不与点 $O$ ， $D$ 重合），直线 $D P$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，过 $P$ 点作 $P B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $D A$ ， $C B$ .求证： $D A / / C B$ .

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