福建省宁德市2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. sin30°等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）

A、2 B、12 C、18 D、24

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4. 在Rt△ABC中，∠C=90⁰ ， AC=4，AB=5，则sinB的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $G B E F$ 是位似图形，则位似中心是（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $F$ D、点 $D$

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $O A = O C$ ， $O B = O D$ .若要使四边形 $A B C D$ 为菱形，则可以添加的条件是（）

A、 $A C = B D$ B、 $A B ⊥ B C$ C、 $∠ A O B = 60 °$ D、 $A C ⊥ B D$

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7. 对于反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大 B、 $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小 C、当 $x > 0$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大 D、当 $x < 0$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小

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8. 若方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的值可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 4 ， m)$ ， $(- 3 ， n)$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，且 $- 4 < x_{1} < - 3$ ， $x_{2} > 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $m + n > 0$ B、 $m - n < 0$ C、 $m \cdot n < 0$ D、 $\frac{m}{n} > 0$

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10. 如图，一根电线杆 $P O$ 垂直于地面，并用两根拉线 $P A$ ， $P B$ 固定，量得 $∠ P A O = α$ ， $∠ P B O = β$ ，则拉线 $P A$ ， $P B$ 的长度之比 $\frac{P A}{P B} =$ （）

A、 $\frac{\tan α}{\tan β}$ B、 $\frac{\cos β}{\cos α}$ C、 $\frac{\sin α}{\sin β}$ D、 $\frac{\sin β}{\sin α}$

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二、填空题

11. 若 $3 x = 2 y$ ，则 $\frac{x}{y} =$ .

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12. 已知一个几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体可能是.

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13. 如图，公路 $A C ， B C$ 互相垂直，公路 $A B$ 的中点 $M$ 与点 $C$ 被湖隔开，若测得 $A B$ 的长为2.4km，则 $M ， C$ 两点间的距离为km.

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14. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文为：已知长方形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长为10尺，那么门的高和宽各是多少尺？设长方形门的宽为 $x$ 尺，则可列方程为.

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15. 如图， $E ， F$ 分别为矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ ， $B C$ 的中点，若矩形 $A B C D$ 与矩形 $E A B F$ 相似，则相似比等于.

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16. 如图，正方形的顶点 $A ， C$ 分别在 $y$ 轴和 $x$ 轴上，边 $B C$ 的中点 $F$ 在 $y$ 轴上，若反比例函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象恰好经过 $C D$ 的中点 $E$ ，则 $O A$ 的长为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ .

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18. 如图， $D ， E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上的点， $D E ∥ B C$ ， $A B = 7$ ， $B D = 2$ ， $A E = 6$ ，求 $A C$ 的长.

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19. 如图，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B (4 ， 2)$ 是反比例函数图象上的一点，且 $\tan ∠ O A B = 1$ .过点 $A$ 作 $A C ⊥ y$ 轴交反比例函数图象于点 $C$ .

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求点 $C$ 的坐标.

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20. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，延长 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $\frac{E F}{E B} = \frac{F A}{B C}$ ；

(2)、已知点 $P$ 在边 $C D$ 上，请以 $C P$ 为边，用尺规作一个 $△ C P Q$ 与 $△ A E F$ 相似，并使得点 $Q$ 在 $A C$ 上.（只须作出一个 $△ C P Q$ ，保留作图痕迹，不写作法）

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21. 某化肥厂2019年生产氮肥4000吨，现准备通过改进技术提升生产效率，计划到2021年生产氮肥4840吨.现技术攻关小组按要求给出甲、乙两种技术改进方案，其中运用甲方案能使每年产量增长的百分率相同，运用乙方案能使每年增长的产量相同.问运用哪一种方案能使2020年氮肥的产量更高？高多少？

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22. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子 $O A$ ，点 $O$ 恰好在水面中心，安装在柱子顶端 $A$ 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 $O A$ 的任意平面上，水流喷出的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ .请完成下列问题：

(1)、将 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；

(2)、写出左边那条抛物线的表达式；

(3)、不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？

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23. 4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动.顾客每购书满100元获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：

两球所标数字之和

3

4

5

6

7

奖励的购书券金额（元）

0

0

30

60

90

(1)、通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；

(2)、书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均教的方法说明理由.

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24. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $\sin ∠ D B C = \frac{5}{13}$ ， $B D = 24$ ， $∠ B D C = 60 °$ .平行四边形 $M P N Q$ 的顶点 $P ， Q$ 在线段 $B D$ 上（点 $P$ 在 $Q$ 的左边），顶点 $M ， N$ 分别在线段 $A D$ 和 $B C$ 上.

(1)、求证： $D M = B N$ ；

(2)、如图1，将 $△ B C D$ 沿直线 $B D$ 折叠得到 $△ B C^{'} D$ ，当 $B C^{'}$ 恰好经过点 $M$ 时，求证：四边形 $M P N Q$ 是菱形；

(3)、如图2，若四边形 $M P N Q$ 是矩形，且 $M P ∥ A B$ ，求 $B P$ 的长.（结果中的分母可保留根式）

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25. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象经过点 $A (1 ， 2)$ .

(1)、当 $c = 4$ 时，若点 $B (3 ， 10)$ 在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；

(2)、已知点 $M (t - 3 ， 5)$ ， $N (t + 3 ， 5)$ 在该二次函数的图象上，求 $t$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，若该二次函数的图象与直线 $y = 3 x - 1$ 交于点 $P$ ， $Q$ ，且 $P Q = \sqrt{10}$ ，求 $b$ 的值.

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两球所标数字之和	3	4	5	6	7
奖励的购书券金额（元）	0	0	30	60	90