浙江省宁波市鄞州区2021届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-11-23 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4 分，共 40 分。）

1. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、5

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2. 下列事件中是随机事件的是（）

A、通常加热到100℃时，水沸腾 B、在只装有黑球和白球的袋子里，摸出红球 C、购买一张彩票，中奖 D、太阳从东方升起

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3. 已知⊙O的半径为1cm，点D到圆心O的距离为2cm,则点D与⊙O的位置关系是（）

A、点D在⊙O外 B、点D在⊙O上 C、点D在⊙O内 D、不能确定

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4. 某正方体的平面展开图如图所示，由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（）

A、国 B、的 C、中 D、梦

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5. 如图， DE∥BC ，若 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{3}$ ，则△ADE与四边形BCED的面积的比是（）

A、1：9 B、1：8 C、1：6 D、1：3

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6. 如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）

A、36° B、46° C、27° D、63°

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7. 如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB.过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{5}{3} π - 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{5}{3} π - 4$ C、 $3 π - 2 \sqrt{3}$ D、 $3 π - 4$

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8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB上的一个动点，过点P画PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，当点P由A向B移动时，四边形CDPE周长的变化情况是（）

A、逐渐变小 B、逐渐变大 C、先变大后变小 D、不变

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9. 如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（）

A、a B、1.5a C、 $\sqrt{3} a$ D、 $2 \sqrt{3} a$

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10. 如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙．在矩形ABCD的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分,共30分）

11. 若 $x = 4$ ， $y = 3$ ，则 $x$ 与 $y$ 的比例中项为.

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12. 把抛物线 $y = - x^{2}$ 向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为.

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13. 如图，△ $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，斜边 $A B$ 上一点 $D$ ，使得 $C D = C B$ ，则 $\sin ∠ A C D =$ .

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14. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的长等于.

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15. 直线 $y = a x + m$ 和 $y = b x + n$ 在同一直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为

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16. 如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC= $\sqrt{3}$ ，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿AE折叠，得到多边形AB'C'E，点B、C的对应点分别为点B'、C'.当点E从点C移动到点D的过程中，点C'移动的路径长为.

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三、解答题(本大题有 8 小题，其中第17——19题各8分；第20——22题各10分；第23题12分,第24题14分,共80分.)

17. 计算：

(1)、 $2^{- 1} + {(π - 3.15)}^{0} + 2 \cos^{2} 30 °$

(2)、已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} \neq 0$ ，求代数式 $\frac{5 a - 2 b}{a^{2} - 4 b^{2}} \cdot (a - 2 b)$ 的值

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18. 如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1和图2的正方形网格内按下列要求画出格点三角形.

(1)、在图1中，画△DEF与△ABC相似，且相似比为 $\sqrt{2}$ ；

(2)、在图2中，画△PQR与△ABC相似，且相似比为 $\sqrt{5}$ .

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19. 如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，这四张纸牌背面朝上洗匀.

(1)、从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率.

(2)、小明和小亮约定做一个游戏，其规则如下：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明.（纸牌用A、B、C、D）

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20. 如图，从观察点A处发现北偏东45°方向，距离为9海里的B处有一走私船。这时一艘缉私艇位于A点的北偏西53°方向的C处，且C点恰好在B点的正西方向。此时走私船正以每小时50海里的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，缉私艇奉命立即以每小时50 海里的速度向走私船追去。

(1)、点B和点C相距多少海里？

(2)、缉私艇沿什么方向行驶，才能在最短时间内追上走私船？并求出所需时间.（参考数据：sin53º≈0.8，cos53º≈0.6， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

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21. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点（1，0）和（0，2）.

(1)、求b，c的值；

(2)、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求 $y$ 的取值范围；

(3)、已经点P(m，n)在该函数的图象上，且 $m + n = 1$ ，求点P的坐标.

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22. 如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD.已知∠CAD＝∠B.

(1)、求证：AD是⊙O的切线；

(2)、若BC＝8，tanB＝ $\frac{1}{2}$ ，求⊙O的半径.

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23. 若抛物线的顶点到 $x$ 轴的距离与抛物线截 $x$ 轴所得的距离相等，则称该抛物线是等距抛物线.

(1)、判断：二次函数 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 2$ （填“是”或“不是”）等距抛物线；

(2)、若抛物线 $y = 2 {(x - 2)}^{2} + n$ $(n \neq 0)$ 是等距抛物线，求 $n$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若该抛物线与 $x$ 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，在此抛物线上是否存在一个点F，使得∠FAB=∠ACB. 若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 如图1.已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，弦AB的弦心距MN为3，

(1)、求⊙M的半径；

(2)、求弦CD的长；

(3)、如图2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ＝∠CQD时，求CQ的长；

(4)、如图3.若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值.

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