浙江省宁波市慈溪市2021届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-11-23 类型：期中考试

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一、单选题(共10小题，每小题4分，共40分)

1. 下列函数关系式中，属于二次函数的是（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = x^{2} + \frac{1}{x}$ C、 $y = (x + 2) (x - 1) - x^{2}$ D、 $y = x^{2} - 1$

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2. 如图，在圆 $O$ 中，圆心角 $∠ B O C = 80 °$ ，则圆周角 $∠ B A C =$ （）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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3. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、三个点确定一个圆 B、每条边都相等的多边形是正多边形 C、平分弦的直径垂直于弦 D、直径所对的圆周角是直角

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4. 浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用。其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点。如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 $n °$ 后能与原图案重合，则 $n$ 可以取（）

A、60 B、90 C、120 D、180

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5. 如图， $A B / / C D / / E F$ ，下列比例式中不正确的是（）

A、 $\frac{A C}{C E} = \frac{B D}{D F}$ B、 $\frac{A E}{C E} = \frac{D F}{B F}$ C、 $\frac{C E}{A E} = \frac{D F}{B F}$ D、 $\frac{A C}{B D} = \frac{C E}{D F}$

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6. 如图， $Δ A D E$ ∽ $Δ A B C$ ，且 $A D ： D B = 2 ： 1$ ，则 $Δ A D E$ 与 $Δ A B C$ 的相似比为（）

A、2：3 B、3：2 C、2：1 D、1：2

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ，若 $∠ D = 3 ∠ B$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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8. 如图， $A B$ 为半圆的直径，且 $A B = 4$ . 若将半圆绕点 $B$ 顺时针旋转 $45 °$ ，使得点 $A$ 旋转到点 $A'$ 的位置，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $4 π$

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9. 如图是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，其对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0 ， 3)$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c = 3$ 的两根分别是0和2；④方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一个实根大于2；⑤当 $x > 2$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小. 其中正确结论的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图，扇形 $O A B$ 的圆心角的度数为 $120 °$ ，半径长为4， $P$ 为弧 $A B$ 上的动点， $P M ⊥ O A ， P N ⊥ O B$ ，垂足分别为 $M ， N$ ， $D$ 是 $Δ P M N$ 的外心．当点 $P$ 运动的过程中，点 $M ， N$ 分别在半径上作相应运动，从点 $N$ 离开点 $O$ 时起，到点 $M$ 到达点 $O$ 时止，点 $D$ 运动的路径长（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $π$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分)

11. 2020年2月，为了支援武汉抗击“新冠肺炎”疫情，某医院从自愿报名的5名男医生和3名女医生中随机挑选一名医生去武汉支援，则选中一名女医生的概率为.

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12. 已知正 $n$ 边形的一个内角为 $108 °$ ，则 $n =$ .

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13. 在一幅比例尺为1:500000的地图中，小王量出学校到体育馆的距离为2.4厘米，则学校到体育馆的实际距离为千米.

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14. 将二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为.

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15. 高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运动员会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运动员将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 $h$ （单位：米）与飞行时间 $t$ （单位：秒）之间满足函数关系 $h = 20 t - 5 t^{2}$ .则小球从飞出到落地瞬间所需的时间为秒.

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16. 如图， $A B ， B C$ 是以 $O$ 为圆心，半径为4的圆的两条弦， $∠ B = 60 °$ ，且点 $O$ 在 $∠ B$ 内. 点 $D$ 是劣弧 $A C$ 上的一个动点，点 $M ， N ， P$ 分别是 $A D ， C D ， B C$ 的中点. 则 $P N + M N$ 的长度的最大值为.

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三、解答题（共8大题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）

17. 已知抛物线 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m$ 经过点 $(2, 3)$ .

(1)、求 $m$ 的值及抛物线的顶点坐标；

(2)、当 $x$ 取什么值时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小？

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18. 已知三条线段 $a, b, c$ 满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{c + 1}{4}$ ，且 $a + b + c = 17$ .

(1)、求 $a, b, c$ 的值；

(2)、若线段 $d$ 是线段 $a$ 和 $b$ 的比例中项，求 $d$ 的值.

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19. 在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的位置如图所示，其中 $A (1 ， 2)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (5 ， 1)$ .

(1)、画出 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求旋转过程中动点 $C$ 所经过的路径长（结果保留 $π$ ）.

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20. 为弘扬我校核心文化——“坿”文化，积极培育学生“敢进取”的精神，我校举行一次数学探究实验. 在一个不透明的箱子里放有 $n$ 个除颜色外其他完全相同的小球（数量不详），只知其中有5个红球.

(1)、若先从箱子里拿走 $m$ 个红球，这时从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”，则 $m$ 的最大值为.

(2)、若在原来的箱子里再加入3个红球后进行摸球实验，每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在40%左右，你能估计 $n$ 的值是多少吗？

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21. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具。据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 $O$ 为圆心的圆，已知圆心 $O$ 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 $A B$ 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）.

(1)、求该圆的半径；

(2)、若水面上涨导致圆被水面截得的弦 $A B$ 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？

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22. 为贯彻落实全市城乡“清爽行动”暨生活垃圾分类攻坚大会精神，积极创建垃圾分类示范单位，我校举行了一次“垃圾分类”模拟活动. 我们将常见的生活垃圾分为四类：可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，且应分别投放于4种不同颜色的对应垃圾桶中. 若在这次模拟活动中，某位同学将两种不同类型的垃圾先后随意投放于2种不同颜色的垃圾桶.

(1)、请用列表或画树状图表示所有可能的结果数；

(2)、求这位同学将两种不同类型的垃圾都正确投放的概率.

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23. “新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.

(1)、求每天的销售量 $y$ （瓶）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式；

(2)、求每天的利润 $w$ （元）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式；

(3)、该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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24. 如图

(1)、如图①，圆 $O$ 的半径为2，圆内有一点 $Q$ ， $O Q = 1$ ，若弦 $A B$ 过点 $Q$ ，则弦 $A B$ 长度的最大值为；最小值为；

(2)、如图②，将 $Δ A B C$ 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 $A$ 与原点 $O$ 重合，点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $A B = 12 \sqrt{3}$ ， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 120 °$ ．在 $x$ 轴上方是否存在点 $M$ ，使得 $∠ A M B = 60 °$ ，且 $S_{△ A M B} = S_{△ A B C}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图③， $Δ A B C$ 是学校的一块空地示意图，其中 $∠ C = 90 °$ ， $A C = 80$ 米， $B C = 60$ 米．现在学校领导想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建“学生劳动教育基地”．若学校想建的“学生劳动教育基地”是四边形 $A C B D$ ，且满足 $∠ A D B = 60 °$ ，你认为学校领导的想法能实现吗？若能，求出这个四边形“学生劳动教育基地”面积和周长的最大值；若不能，请说明理由．

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