山东省郓城一中2020-2021学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2020-11-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）

A、[0，π） B、[0， $\frac{π}{4}$ ]∪[ $\frac{3 π}{4}$ ， π） C、[0， $\frac{π}{4}$ ] D、[0， $\frac{π}{4}$ ]∪（ $\frac{π}{2}$ ， π）

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2. 已知点 $P (- 2, 3)$ ，点Q是直线l： $3 x + 4 y + 3 = 0$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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3. 斜率为 $- 3$ ，在 $x$ 轴上截距为 $- 2$ 的直线方程的一般式为（）

A、 $3 x + y + 6 = 0$ B、 $3 x - y + 2 = 0$ C、 $3 x + y - 6 = 0$ D、 $3 x - y - 2 = 0$

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4. 已知空间向量 $\vec{m} = (3, 1, 3)$ ， $\vec{n} = (- 1, λ, - 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、6

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5. 已知正四面体 $D - A B C$ 的各棱长为1，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E C} \cdot \overset{⇀}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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6. 如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直， $D$ ， $E$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A D$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（　　）

A、x+2y+3=0 B、2x+y+3=0 C、x﹣2y+3=0 D、2x﹣y+3=0

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} B D$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 下列说法中，正确的有（）

A、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ ， $y$ 轴截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ B、直线 $y = 3 x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ C、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60 °$ D、过点 $(5, 4)$ 并且倾斜角为 $90 °$ 的直线方程为 $x - 5 = 0$

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10. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y - a = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $a x - (2 a - 3) y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $l_{2}$ 始终过定点 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 1$ 或-3 C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或2 D、当 $a > 0$ 时， $l_{1}$ 始终不过第三象限

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11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A ⊥$ 底面ABCD，且 $P A = A D = A B = 2 B C$ ，M、N分别为PC、PB的中点.则（）

A、 $C D ⊥ A N$ B、 $B D ⊥ P C$ C、 $P B ⊥$ 平面ANMD D、BD与平面ANMD所在的角为30°

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12. 如图，在正四棱锥 $P — A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $P B = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点．设棱锥 $P — A B C D$ 与棱锥 $E — B C D$ 的体积分别为 $V_{1} ， V_{2}$ ， $P B$ ， $P C$ 与平面 $B D E$ 所成的角分别为 $α$ ， $β$ ，则（）

A、 $P A //$ 平面 $B D E$ B、 $P C ⊥$ 平面 $B D E$ C、 $V_{1} ： V_{2} = 4 ： 1$ D、 $\sin α ： \sin β = 1 ： 2$

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三、填空题

13. 已知直线l与平面 $α$ 垂直，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{u} = (1, 3, z)$ ，向量 $\vec{v} = (3, - 2, 1)$ 与平面 $α$ 平行，则 $z =$ .

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14. 过直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 和 $x + y - 2 = 0$ 的交点，且过点 $(2, - 1)$ 的直线 $l$ 的方程为．

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15. 若直线 $l$ 过点 $P (1, 2)$ 且与点 $A (- 1, 2), B (3, 0)$ 两点距离相等，则直线l方程为．

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16. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两垂直，且 $| P A | = | P B | = | P C | = 2$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为；

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四、解答题

17. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M 、 N$ 分别是 $A_{1} B$ 、 $B_{1} C_{1}$ 上的点，且 $B M = 2 A_{1} M$ ， $C_{1} N = 2 B_{1} N$ .设 $\vec{A B} = a$ ， $\vec{A C} = b$ ， $\vec{A A_{1}} = c$ .

(1)、试用 $a ， b ， c$ 表示向量 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60^{\circ}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ，求MN的长.

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18. 已知三点 $A (0, 2, 3) ， B (- 2, 1, 6) ， C (1, - 1, 5)$

(1)、求以 $A B ， A C$ 为邻边的平行四边形面积

(2)、求平面 $A B C$ 一个法向量

(3)、若向量 $\vec{a}$ 分别与 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 垂直，且 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ 求 $\vec{a}$ 的坐标.

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19. 已知直线 $l$ 过点 $P (- 1, 2)$ ．

(1)、若直线 $l$ 在两坐标轴上截距和为零，求 $l$ 方程；

(2)、设直线 $l$ 的斜率 $k > 0$ ，直线 $l$ 与两坐标轴交点分别为 $A$ 、 $B$ ，求 $Δ A O B$ 面积最小值．

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20. 一条光线从点 $P (6 ， 4)$ 射出，与 $x$ 轴相交于点 $Q (2 ， 0)$ ，经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $H$ .

(1)、求反射光线 $Q H$ 的方程；

(2)、求三角形 $P Q H$ 的面积.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B = A C = A D = 3$ ， $P A = C D = 4$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上一点， $A E = 2 E B$ ， $M$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $E M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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22. 如图所示，直角梯形ABCD中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形EDCF为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $D F ∥$ 平面ABE；

(2)、求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．

(3)、在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

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