湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2020-11-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x > 0}$ ， $B = {x | 3^{x} > 3}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cap B = A$ C、 $A \cup B = B$ D、 $A \cup B = A$

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2. “ $m > 1$ ”是“曲线 $\frac{x^{2}}{3 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东 $20^{\circ}$ 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东 $40^{\circ}$ 方向上，则灯塔A与B的距离为（）

A、6 km B、 $4 \sqrt{3} km$ C、7 km D、 $5 \sqrt{2} km$

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $| P F_{1} | + | P F_{2} | =$ $10$ ， $| P F_{1} |$ 的最小值为1，则 $C$ 的焦距为（）

A、10 B、8 C、6 D、4

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 $\frac{1}{a_{3} - a_{1}} + \frac{1}{a_{4} - a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n + 2} - a_{n}} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2^{n}})$ B、 $\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{4^{n}})$ C、 $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2^{n}})$ D、 $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{4^{n}})$

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6. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - x + c (x \in R)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ ，则 $\frac{9}{a} + \frac{1}{c}$ 的最小值为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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7. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} < 0$ ， $S_{13} = 0$ ，则使得 $S_{n} \leq a_{n}$ 的 $n$ 的最大值为（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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8. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a^{2} - c^{2} = \frac{1}{3} b^{2}$ ， $\tan A = 2$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、多选题

9. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $m = 2$ B、 $C$ 的长轴长为 $\sqrt{3}$ C、 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 当 $x > 0$ 时，下列函数最小值为2的是（）

A、 $y = x (2 \sqrt{2} - x)$ B、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ D、 $y = x^{2} + \frac{4}{x^{2} + 2} - 1$

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11. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $\cos^{2} A - \cos^{2} B - \cos^{2} C = \cos A \cos B + \cos C$ $- \cos 2 B$ ，且 $c = \sqrt{3}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、 $C = \frac{2 π}{3}$ C、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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12. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{2019} < S_{2021} < S_{2020}$ ，设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}$ ，则数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{2020} > 0$ B、 $a_{2021} < 0$ C、 $a_{2019} \cdot a_{2020} > a_{2021} \cdot a_{2022}$ D、 $n = 2019$ 时， $T_{n}$ 取得最大值

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三、填空题

13. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a = 3$ ， $b = \frac{7}{2}$ ， $\sin A = \frac{3}{7}$ ，则 $B =$ .

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14. 若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $m x_{0}^{2} + m x_{0} + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 3$ ， $λ S_{n} = 3 a_{n} - 1$ ，则 $S_{n} =$ .

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 不为0， $a_{1} = 1$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{6}$ 的等比中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a = 2$ ， $F$ 为线段 $A C$ 上一点， $C F = \sqrt{2} B F$ ，有下列条件：
① $c = 2$ ；② $b = 2 \sqrt{3}$ ；③ $\sin ∠ A B C + \sqrt{3} \cos ∠ A B C = 0$ .

请从以上三个条件中任选两个，求 $∠ C B F$ 的大小和 $△ A B F$ 的面积.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (4 a + 2) x + 8$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (\log_{\frac{1}{2}} x) \leq 0$ 的解集；

(2)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集.

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20. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin C} = \frac{8}{3}$ ， $a ， b ， c$ 成等差数列.

(1)、求 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$ 的值；

(2)、若 $\sin B = \frac{4}{5}$ ，求 $a ： b ： c$ 的值.

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n}) a_{n} + \frac{n + 1}{3^{n}}$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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22. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左焦点为 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ ，过F的直线交E于A、C两点， $A C$ 的中点坐标为 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过原点O的直线 $B D$ 和 $A C$ 相交且交E于B、D两点，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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