湖北省黄石市重点高中2019-2020学年高二上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-11-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 2)$ ， $C (1, c)$ ，若 $\vec{A B} / / \vec{B C}$ ，则 $c$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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2. 已知 $z_{1} = 2 t + i$ ， $z_{2} = 1 - 2 i$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，则实数 $t$ 的值为（）

A、1 B、－1 C、 $\frac{1}{4}$ D、－ $\frac{1}{4}$

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $R$ ，值域为 $[- 1, 2]$ ，则值域也为 $[- 1, 2]$ 的函数是（）

A、 $y = 2 f (x) + 1$ B、 $y = f (2 x + 1)$ C、 $y = - f (x)$ D、 $y = | f (x) |$

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4. 下列说法中，错误的是（）

A、若命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} \geq 0$ ，则命题 $^{\neg} p : \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} < 0$ B、“ $\sin x = \frac{1}{2}$ ”是“ $x = \frac{5 π}{6}$ ”的必要不充分条件 C、“若 $a + b \geq 4$ ，则 $a$ 、 $b$ 中至少有一个不小于 $2$ ”的逆否命题是真命题 D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > x^{2}$

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5. 连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点 $P$ 的坐标，则点 $P$ 落在圆 $x^{2} + y^{2} = 15$ 内的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角 $B - A C - D$ 的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 已知过定点 $(2, 1)$ 作直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形面积为4，这样的直线有（）条？

A、2 B、3 C、4 D、0

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8. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，若其欧拉线方程为 $x - y + 2 = 0$ ，则顶点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(- 4 ， 0)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- 3, 0)$ D、 $(- 4 ， 2)$

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9. 若函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) - a$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 1]$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- 1 ， \frac{1}{2}]$

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10. 已知 $O$ 为四边形 $A B C D$ 所在的平面内的一点，且向量 $\overset{⇀}{O A}$ ， $\overset{⇀}{O B}$ ， $\overset{⇀}{O C}$ ， $\overset{⇀}{O D}$ 满足等式 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O D}$ ，若点 $E$ 为 $A C$ 的中点，则 $\frac{S_{Δ E A B}}{S_{Δ B C D}} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 过点 $P (- 1, - 1)$ 且不垂直于 $y$ 轴的直线 $l$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，点 $C$ 在圆 $M$ 上，若 $Δ A B C$ 是正三角形，则直线 $l$ 的斜率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 $A, B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2, 0), B (4, 0),$ 点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ .设点 $P$ 的轨迹为 $C$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $A, B, P$ 三点不共线时，射线 $P O$ 是 $∠ A P B$ 的平分线 B、在 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $| M O | = 2 | M A |$ C、在 $x$ 轴上不存在异于 $A, B$ 的两定点 $D, E$ ，使得 $\frac{| P D |}{| P E |} = \frac{1}{2}$ D、 $C$ 的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 9$

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二、填空题

13. 若 $A, B$ 是 $△ A B C$ 的内角，且 $\sin A > \sin B$ ，则 $A$ 与 $B$ 的大小关系是.

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14. 当点 $P (3, 2)$ 到直线 $m x - y + 1 - 2 m = 0$ 的距离最大值时， $m$ 的值为．

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15. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - | x | + 4 a \geq 0$ 的解集是 $(- \infty, + \infty)$ ， $a$ 的取值范围.

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16. 过直线 $l : y = k x - 1$ 上一点 $P$ 作圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 4 y + 1 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，若 $∠ A P B$ 的最大值为 $90 °$ ，则实数k= ．

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A (5 ， - 2)$ ， $B (7 ， 4)$ ，且 $A C$ 边的中点 $M$ 在 $y$ 轴上， $B C$ 的中点 $N$ 在 $x$ 轴上.

(1)、
求点C的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin B - \frac{\sqrt{3}}{2} b = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 已知点 $P (x ， y)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 上.

(1)、求 $\frac{y + 2}{x - 2}$ 的取值范围；

(2)、求 $x + 2 y$ 的最大值和最小值.

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，PA⊥底面ABCD，PA=4，AB=2.

(1)、求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)、过AC的平面交PD于点M，若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，求二面角M﹣AC﹣D的余弦值.

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21. 已知圆心在 $x$ 轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线 $y = \sqrt{3} x$ 截得的弦长为 $\sqrt{13}$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、若圆内有动弦AB过定点 $(2, 0)$ ，O为坐标原点，试求 $△ O A B$ 面积的最大值，并写出此时动弦AB所在的直线l的方程。

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22. 某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，其中在边长为20米的正方形 $E F G H$ 内种植经红色郁金香，在正方形 $A B C D$ 的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在以 $A B$ 为边长的矩形 $A B M N$ 内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设 $∠ G F B = θ$ ， $A N = y$ 米．

(1)、求 $y$ 与 $θ$ 之间的函数关系式；

(2)、求 $A N$ 的最大值．

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