河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-11-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 $4$ 项，则这个数列的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = 3^{n - 1}$ B、 $a_{n} = 3^{n}$ C、 $a_{n} = 3^{n} - 2 n$ D、 $a_{n} = 3^{n - 1} + 2 n - 3$

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2. △ABC中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（）

A、无解 B、有一解 C、有两解 D、一解或两解

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3. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₁+a₃+a₅=3，则S₅=（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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4. 函数 $f (x)$ 定义如下表，数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{0} = 5$ ，且对任意的自然数均有 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，则 $x_{2020} =$ （）

$x$

1

2

3

4

5

$f (x)$

5

1

3

4

2

A、1 B、2 C、4 D、5

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5. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= $\sqrt{5}$ ，c=2，cosA= $\frac{2}{3}$ ，则b=（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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6. 一个直角三角形的三边成等比数列，则最小锐角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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7. 如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 $P$ 的南偏西 $75 °$ 距塔68海里的 $M$ 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 $N$ 处，则这艘船航行的速度为（）

A、 $\frac{17}{2} \sqrt{6}$ 海里/时 B、 $34 \sqrt{6}$ 海里/时 C、 $\frac{17 \sqrt{2}}{2}$ 海里/时 D、 $34 \sqrt{2}$ 海里/时

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，①若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ ；②若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 一定为等腰三角形；③若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B = \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形；④若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ .以上结论中正确的有（）

A、①③ B、①④ C、①②④ D、①③④

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9. 若数列 ${a_{n}}$ 是正项递减等比数列， $T_{n}$ 表示其前 $n$ 项的积，且 $T_{8} = T_{12}$ ，则当 $T_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值等于（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 5}{2 n - 1}$ ，则 $\frac{a_{7}}{b_{6}} =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{12}{11}$ C、 $\frac{18}{25}$ D、 $\frac{16}{21}$

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11. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{6} > S_{7} > S_{5}$ ，给出下列五个命题：① $d < 0$ ；② $S_{11} > 0$ ；③ $S_{12} < 0$ ；④ $| a_{6} | > | a_{7} |$ ；其中正确命题的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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12. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 75 °$ ， $B C = 4$ ，则 $A B$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})$ B、 $[\sqrt{6} - \sqrt{2} ， \sqrt{6} + \sqrt{2}]$ C、 $(\sqrt{6} - \sqrt{2} ， \sqrt{6} + \sqrt{2})$ D、 $(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2})$

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二、填空题

13. 一个剧场共有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则该看台的总座位数为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ ．已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，则 $\frac{b}{a} =$ ．

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$ ，若对于任意的 $n \in N^{*}$ ， $k (a_{n} - 1) \geq 2 n - 5$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值为．

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16. 已知圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B C = 6 ， A D = C D = 4 ，$ 则四边形 $A B C D$ 的面积为.

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三、解答题

17. 已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且b₂=3，b₃=9，a₁=b₁ ， a₁₄=b₄ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设c_n=a_n+b_n ，求数列{c_n}的前n项和．

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18. $Δ A B C$ 的内角A,B,C所对的边分别为 $a, b, c$

(1)、若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $sinA + s i n C = 2 s i n (A + C)$

(2)、若 $a, b, c$ 成等比数列，且 $c = 2 a$ ，求 $\cos B$ 的值

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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20. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a = 3$ ， $b = 5$ ， $c = 7$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的三个角中最大角的大小；

(2)、秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ 可以已知三边求三角形的面积.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = n (n + 1)$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ .

(1)、求证数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，并求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = n \cdot 2^{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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22. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \cos C + c = 2 a$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D$ 为 $A C$ 边上的中线， $\cos A = \frac{1}{7}$ ， $B D = \frac{\sqrt{129}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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$x$	1	2	3	4	5
$f (x)$	5	1	3	4	2