河南省洛阳市豫西名校2020-2021学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-11-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $A = 60^{\circ}, b = 2, c = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} a_{3} a_{5} = 8$ ，则 $a_{2} a_{4} =$ （）

A、2 B、4 C、±2 D、±4

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3. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} = 2$ ， $a_{2} - a_{5} a_{4} = 8 a_{6}$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、180 B、-180 C、162 D、-162

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4. 在 $△ A B C$ 中,内角 $A$ , $B$ , $C$ 所对的边分别是 $a$ , $b$ , $c$ ,已知 $b - c = \frac{1}{4} a$ , $2 s i n B = 3 s i n C$ ,则 $c o s A$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知数列{ $a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ =2 $a_{n} - 4$ ，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}}$ =（）

A、5 B、 $\frac{13}{2}$ C、 $\frac{17}{2}$ D、9

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6. 已知 $△ A B C$ 中， $(a + b + c) (\sin A + \sin B - \sin C) = a \sin B$ ，其中A，B，C为 $△ A B C$ 的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $a c \cos B = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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8. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $tan C = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的周长为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2} π$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4} π$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2} π$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4} π$

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9. 在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $A = 2 C$ ，则 $\frac{a}{c}$ 的范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(\sqrt{2}, 2)$ C、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3}, 2)$

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10. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 $π$ ，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 $π$ 的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则 $π$ 的近似值是（）（精确到 $0.01$ ）.（参考数据 $\sin 15 ° \approx 0.2588$ ）

A、3.14 B、3.11 C、3.10 D、3.05

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项都为正数，当 $n \geq 2$ 时， $a_{2} a_{2 n - 2} = 2^{2 n}$ ，设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${{(- 1)}^{n} \frac{2 n + 1}{b_{n} (b_{n} + 1)}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2020} =$ （）

A、 $\frac{2020}{2021}$ B、 $- \frac{2020}{2021}$ C、 $- \frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{2019}{2020}$

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12. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 若 $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{2 \sqrt{3} \sin A}{3}, \cos B + \sqrt{3} \sin B = 2$ ，则 $a + c$ 的取值范围是（）

A、( $\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}]$ B、( $\frac{3}{2}, \sqrt{3}]$ C、[ $\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}]$ D、[ $\frac{3}{2}, \sqrt{3}]$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{8} - a_{5} = - 6$ ， $S_{9} - S_{4} = 75$ ，则 $S_{n}$ 取得最大值时 $n =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，如果 $2 b = a + c$ ， $B = 30 °$ ， $△ A B C$ 面积为 $\frac{3}{2}$ ，那么 $b =$ .

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15. 如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸 $B$ ， $C$ 的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度 $B C$ 等于m．

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16. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 2 $a_{1}$ + $2^{2} a_{2}$ + …+ $2^{n} a_{n}$ = $n (n \in R^{*})$ ，数列 ${\frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{3} \cdot ... \cdot S_{n} =$

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三、解答题

17. 如图， $D$ 是直角 $Δ A B C$ 斜边 $B C$ 上一点， $A C = \sqrt{3} D C$ ．

(1)、若 $∠ D A C = \frac{π}{6}$ ，求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D = 2 D C$ ，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $D C$ 的长．

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $d = - 2$ ， $S_{4} = 76$ .等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + b_{3} = 10$ ， $b_{2} + b_{4} = 20$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = (23 - a_{n}) b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $2 a_{1} + a_{3} = 12$ ， $a_{1} + 2 a_{2} = 1 + a_{4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{1}{S_{1} + 1} + \frac{1}{S_{2} + 2} + \dots + \frac{1}{S_{n} + n} < \frac{2}{3}$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sqrt{3} c = b (\sin A + \sqrt{3} \cos A)$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ，在各项均不相等的等差数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{5}$ 成等比数列，

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $a_{n} = 2^{b_{n}} + \log_{2} c_{n}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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22. 已知 $△ A B C$ 中 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．

(1)、若 $a, b, c$ 依次成等差数列，且公差为2，求 $c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆面积为 $π$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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