江苏省徐州市沛县2020-2021学年高二上学期数学第一次学情调研试卷

试卷更新日期：2020-11-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x_{0} \in [\frac{π}{2}, π]$ ， $\sin x_{0} - \cos x_{0} > 2$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in [\frac{π}{2}, π]$ ， $\sin x - \cos x < 2$ B、 $\exists x_{0} \in [\frac{π}{2}, π]$ ， $\sin x_{0} - \cos x_{0} \leq 2$ C、 $\forall x \in [\frac{π}{2}, π]$ ， $\sin x - \cos x \leq 2$ D、 $\exists x_{0} \in [\frac{π}{2}, π]$ ， $\sin x_{0} - \cos x_{0} < 2$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 抛物线 $y = x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $y = \frac{1}{2}$ B、 $y = - \frac{1}{2}$ C、 $y = \frac{1}{4}$ D、 $y = - \frac{1}{4}$

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4. 过点 $(2, \sqrt{3})$ ，焦点在x轴上且与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有相同的离心率的椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 3, λ, - \frac{15}{2})$ 满足 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{b}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6. 如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线为 $O B ， A C$ ， $M ， N$ 分别是对边 $O B ， A C$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上， $\overset{⇀}{M G} = 2 \overset{⇀}{G N}$ ，现用基向量 $\overset{⇀}{O A} ， \overset{⇀}{O B} ， \overset{⇀}{O C}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O G}$ ，设 $\overset{⇀}{O G} = x \overset{⇀}{O A} + y \overset{⇀}{O B} + z \overset{⇀}{O C}$ ，则 $x ， y ， z$ 的值分别是（）

A、 $x = \frac{1}{3} ， y = \frac{1}{3} ， z = \frac{1}{3}$ B、 $x = \frac{1}{3} ， y = \frac{1}{3} ， z = \frac{1}{6}$ C、 $x = \frac{1}{3} ， y = \frac{1}{6} ， z = \frac{1}{3}$ D、 $x = \frac{1}{6} ， y = \frac{1}{3} ， z = \frac{1}{3}$

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7. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的公共焦点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的离心率，点 $P$ 为 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，若 $e_{2} \in (2, \sqrt{7})$ ，则 $e_{1}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{7}}{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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8. 已知点 $P$ 在离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上， $F$ 是椭圆的一个焦点， $M$ 是以 $P F$ 为直径的圆 $C_{1}$ 上的动点， $N$ 是半径为2的圆 $C_{2}$ 上的动点，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离且圆心距 $| C_{1} C_{2} | = \frac{9}{2}$ ，若 $| M N |$ 的最小值为1，则椭圆 $E$ 的焦距的取值范围是（）

A、 $[1, 3]$ B、 $[2, 4]$ C、 $[2, 6]$ D、 $[3, 6]$

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二、多选题

9. “关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + a > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $0 \leq a \leq 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $a \geq 0$

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10. 已知双曲线 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，两条渐近线的夹角为 $60^{°}$ ，则下列说法正确的是（）

A、M的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、M的标准方程为 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ C、M的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、直线 $x + y - 2 = 0$ 经过M的一个焦点

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11. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为 $C$ ,则下面四个命题中错误的是（）

A、若 $C$ 为椭圆,则 $1 < t < 3$ B、若 $C$ 为双曲线,则 $t > 3$ 或 $t < 1$ C、曲线 $C$ 可能是圆 D、若 $C$ 为椭圆，且长轴在 $y$ 轴上，则 $1 < t < 2$

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12. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $△ A B C$ 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，且 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 均不为0．为坐标原点，则（）

A、 $a^{2} ： b^{2} = 2 ： 1$ B、直线AB与直线OD的斜率之积为-2 C、直线BC与直线OE的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ D、若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \frac{1}{k_{3}}$ 的值为-2

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三、填空题

13. 设 $\overset{⇀}{m}, \overset{⇀}{n}$ 为非零向量，则“存在负数 $λ$ ，使得 $\overset{⇀}{m} = λ \overset{⇀}{n}$ ”是“ $\overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n} < 0$ ”的条件．（从“充分不必要条件、必要不充分条件、充分条件、既不充分也不必要”中选填一个）

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率.

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{12}$ =1的左、右焦点分别为F₁、F₂ ， M是双曲线上一点，若 $∠ F_{1} M F_{2} = 60^{\circ}$ ，则三角形 $F_{1} M F_{2}$ 的面积为.

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16. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）与双曲线 $C_{2} ： x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有公共的焦点， $C_{2}$ 的一条渐近线与以 $C_{1}$ 的长轴为直径的圆相交于 $A ， B$ 两点.若 $C_{1}$ 恰好将线段 $A B$ 三等分，则 $b^{2}$ =.

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四、解答题

17. 已知命题 $p :$ 对数 $l o g_{a} (- 2 t^{2} + 7 t - 5)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )有意义， $q :$ 关于实数 $t$ 的不等式 $t^{2} - (a + 3) t + (a + 2) < 0$ .

(1)、若命题 $p$ 为真，求实数 $t$ 的取值范围.

(2)、若命题 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18.

(1)、若点 $P$ 到直线 $x = - 1$ 的距离比它到点 $(2, 0)$ 的距离小 $1$ ，求点 $P$ 的轨迹方程.

(2)、设椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{5}{13}$ ，焦点在 $x$ 轴上且长轴长为 $26$ ，若曲线 $C_{2}$ 上的点到椭圆 $C_{1}$ 的两个焦点的距离的差绝对值等于 $8$ ，求曲线 $C_{2}$ 的标准方程.

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19. 已知点 $P (1, m)$ 是抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 上的点，F为抛物线的焦点，且 $| P F | = 2$ ，直线l： $y = k (x - 1)$ 与抛物线C相交于不同的两点A，B.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若 $| A B | = 8$ ，求k的值.

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20. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率等于 $\frac{3}{2}$ ，且点 $(- 2 \sqrt{2}, \sqrt{5})$ 在双曲线上.

(1)、求双曲线的方程；

(2)、若双曲线的左顶点为 $A_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，P为双曲线右支上任意一点，求 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值.

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M.

(1)、求 $| M P | - | M F |$ 的最大值；

(2)、求 $| M P | + | M F |$ 的最小值；

(3)、求使得 $| M P | + \frac{5}{3} | M F |$ 的值最小时点M的坐标.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）与直线 $l$ ： $x = m$ （ $m \in R$ ），四点 $（ 3 ， 1 ）$ ， $（ 3 ， - 1 ）$ ， $(- 2 \sqrt{2} ， 0)$ ， $(\sqrt{3} ， \sqrt{3})$ 中有三个点在椭圆 $C$ 上，剩余一个点在直线 $l$ 上.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若动点 $P$ 在直线 $l$ 上，过 $P$ 作直线交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，使得 $P M = P N$ ，再过 $P$ 作直线 $l' ⊥ M N$ ，证明：直线 $l'$ 恒过定点，并求出该定点的坐标.

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