江苏省徐州市沛县2020-2021学年高一上学期数学第一次学情调研试卷

试卷更新日期：2020-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列各项中，能组成集合的是（）

A、高一（3）班的好学生 B、嘉兴市所有的老人 C、不等于0的实数 D、我国著名的数学家

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2. 已知集合 $A = {x | x ⩽ 10}$ ， $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ ，则a与集合A的关系是（）

A、 $a \in A$ B、 $a \notin A$ C、 $a = A$ D、 ${a} \in A$

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3. “三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x | 3 - 2 x > 0}$ 则（）

A、 $A \cap B = {x | x < \frac{3}{2}}$ B、 $A \cap B = ϕ$ C、 $A \cup B = {x | x < \frac{3}{2}}$ D、 $A \cup B = R$

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5. 全称命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 5 x = 4$ ”的否定是( )

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 5 x = 4$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 5 x \neq 4$ 　　　 C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 5 x \neq 4$ D、以上都不正确

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6. 若关于 $x$ 的方程 $m x^{2} + (2 m + 1) x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < \frac{1}{4}$ B、 $m > - \frac{1}{4}$ C、 $m < \frac{1}{4}$ 且 $m \neq 0$ D、 $m > - \frac{1}{4}$ 且 $m \neq 0$

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7. 盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若实数 $a \neq b$ ，且a，b满足 $a^{2} - 8 a + 5 = 0$ ， $b^{2} - 8 b + 5 = 0$ ，则代数式 $\frac{b - 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{b - 1}$ 的值为（）

A、2 B、－20 C、2或－20 D、2或20

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二、多选题

9. 下列各组中的值是方程组 ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 13 \\ x + y = 5 \end{array}$ 的解的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 4 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = - 3 \end{array}$

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10. 下列四个命题中的假命题为（）

A、 $\exists x_{0} \in Z$ ， $1 < 4 x_{0} < 3$ B、 $\exists x_{0} \in Z$ ， $5 x_{0} + 1 = 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 1 = 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 2 > 0$

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11. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a > b > 0 且 c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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12. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 $[k]$ ，即 $[k] = {5 n + k (n \in Z)}$ ， $k = 0, 1, 2, 3, 4$ .给出如下四个结论正确的是（）

A、 $2020 \in [0]$ ； B、 $- 3 \in [3]$ ； C、 $Z = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3] \cup [4]$ ； D、整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ $a - b \in [0]$ ”.

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {7, 2 m - 1}$ ， $B = {7, m^{2}}$ ，且 $A = B$ ，则实数 $m =$ .

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14. 已知 $A = {x | 2 x^{2} - a x + b = 0}$ ， $B = {x | 6 x^{2} + (a + 2) x + 5 + b = 0}$ ，且 $A \cap B = {\frac{1}{2}}$ ，则 $A \cup B$ 中的元素是.

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15. 已知命题“ $\forall x \in R, a x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 若x，y为正数，且 $\frac{1}{x} + 2 y = 3$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为.

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四、解答题

17.

(1)、分解因式： $4 x^{4} - 13 x^{2} + 9$ ；

(2)、已知方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，求 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3)$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 8}$ ， $B = {x | 1 < x < 6}$ ， $C = {x | x > a}$ ， $U = R$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap C \neq \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}.

(1)、若a＝3，求 $(∁_{R} P) \cap Q$ ；

(2)、若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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20. 已知 $m \in R$ 命题 $p$ ：对 $\forall x \in [0 ， 1]$ ，不等式 $2 x - 2 \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立；命题 $q ： \exists x \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $m \leq a x$ 成立.

(1)、若 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若命题 $p$ 和命题 $q$ 有且仅有一个为真，求 $m$ 的取值范围.

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21.

(1)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a \neq b$ ，比较 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a}$ 与a+b的大小；

(2)、已知 $a > b > c$ ，求 $(a - c) (\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c})$ 的最小值.

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22. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 $A B C D$ ，公园由长方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．

(1)、若设休闲区的长和宽的比 $\frac{A_{1} B_{1}}{B_{1} C_{1}} = x (x > 1)$ ，求公园 $A B C D$ 所占面积 $S$ 关于 $x$ 的函数 $S (x)$ 的解析式；

(2)、要使公园所占面积最小，则休闲区 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的长和宽该如何设计？

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