江苏省泰州市姜堰市2020-2021学年高三上学期数学综合检测试卷

试卷更新日期：2020-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}}, B = {x | x^{2} - 1 < 0},$ 则A∩B=（）

A、(-1，1) B、(0，1) C、(-1， +∞) D、(0， +∞)

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2. 在边长为1的正方形ABCD中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达·芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 $A ， C$ 处作圆弧的切线，两条切线交于 $B$ 点，测得如下数据： $A B = 6.9 c m ， B C = 7.1 c m ， A C = 12.6 c m$ ，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{12})$ D、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{π}{2})$

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4. 函数 $f (x) = \ln (x + 2) + \cos x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在△ABC中，AB=4，AC=2， $B C = 3 \sqrt{3},$ 则∠A的角平分线AD的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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6. 重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长 $552 m$ ，两端引桥各有 $190m$ ，主桁最高处距离桥面 $89 .5m$ ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）

A、 $y = 0.45 \cos \frac{2}{3} x$ B、 $y = 4.5 \cos \frac{2}{3} x$ C、 $y = 0.9 \cos \frac{3}{2} x$ D、 $y = 9 \cos \frac{3}{2} x$

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7. 已知函数 $f (x) = (a x + 2) e^{x} - x$ (其中a>-2)，若函数f(x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围（）

A、(-2，-1) B、(-2，0) C、(-1，0) D、(-2，-1]

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8. 已知 $a = \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2}}, b = \frac{4}{3} e^{\frac{2}{3}}, c = \frac{3}{8} e^{\frac{13}{8}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bsinA= (4b-c)sinB，且 $\cos A = \frac{1}{4},$ 则（）

A、a+c=4b B、 $\tan 2 A = - \frac{2 \sqrt{15}}{7}$ C、△ABC的周长为10b D、△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{4} b^{2}$

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二、多选题

10. 已知 $M$ 为 $△ A B C$ 的重心， $D$ 为 $B C$ 的中点，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ C、 $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B D}$ D、 $\vec{C M} = \frac{1}{3} \vec{C A} + \frac{2}{3} \vec{C D}$

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11. 设函数f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数： $x_{1} ， x_{2} \in R ，$ 使得 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} ，$ 则称函数f(x)具有性质P，那么下列选项中，具有性质P的函数是（）

A、 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x \neq 0 \\ 0 ， x = 0 \end{array}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = | x^{2} - 1 |$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} \sin x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $2 π$ 的奇函数 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上为增函数 C、 $f (x)$ 在 $(- 10 π ， 10 π)$ 内有21个极值点 D、 $f (x) ⩾ a x$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上恒成立的充要条件是 $a ⩽ 1$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R, \sin x \geq 1$ ”的否定为.

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14. 若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ 且 $2 | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ， $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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15. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662 等，那么用数字1，2，3， 4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为.

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四、双空题

16. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} - 2 x,$ 则f(2)+f(-2)=;不等式f(x) + f(3x+2)≥2的解集为

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五、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，3)，B(2，-2)，C(4， 1).

(1)、若 $\vec{A B} = 3 \vec{C D} ，$ 求点D的坐标；

(2)、设实数k满足 $(k \vec{A B} + 2 \vec{O C}) \cdot \vec{O C} = 4$ ，求实数k的值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} x + \cos^{2} x (x \in R)$ .

(1)、若f(θ) =1，求锐角θ的值;

(2)、将函数y= f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍( 纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数y= g(x)的图象，求数g(x)在 $[- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值.

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19. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若( $a = \sqrt{3} ，$ 且有____ (从①②③三个条件中选择一个条件，并将条件编号写在横线上) .
① $\sin (B + C) = \sqrt{3} \cos A$ ；② $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ；③ $\frac{c}{\sin C} = 2 ，$ C> A.

(1)、求角A的大小；

(2)、求sinB·sinC的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = k x + \log_{4} (4^{x} + 1) (k \in R)$ 是偶函数．

(1)、求k的值；

(2)、若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{1}{2} x} + m \cdot 2^{x + 1} + 1, x \in [- 1, 1]$ ，是否存在实数m使得 $g (x)$ 的最小值为0？若存在，求出m的值，不存在，请说明理由．

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21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0$ ， $a_{1} = \frac{1}{64}$ ， $\frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{2}{a_{n + 2}}, n \in N^{*}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot {(\log_{2} a_{n})}^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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22. 设 $f (x) = x \sin x + \cos x ， g (x) = x^{2} + 4$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的单调性；

(2)、令 $h (x) = g (x) - 4 f (x)$ ，试证明 $h (x)$ 在 $R$ 上有且仅有三个零点.

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