江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期数学阶段性抽测试卷一

试卷更新日期：2020-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} > x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $A (x_{1}, y_{1})$ B、 $\forall x \notin R$ ， $e^{x} > x$ C、 $\exists x \in R$ ， $A (x_{1}, y_{1})$ D、 $\exists x \in R$ ， $e^{x} > x$

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2. 函数 $f (x) = 2 x^{2} - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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3. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {x | \frac{2 x - 1}{x - 2} \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 2)$ B、 $[1, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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4. “ $\log_{2} (2 x - 3) < 1$ ”是“ $4^{x} < 32$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 函数 $y = (2^{x} - 2^{- x}) \sin x$ 在 $[- π ， π]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 定义在R上的偶函数 $f (x) = 2^{| x - m |} - 1$ ，记 $a = f (- \ln 3)$ ， $b = f (3 \log_{8} 5)$ ， $c = f (2^{m})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 已知函数 $f (x) = 1 + \log_{a} (x - 2) (a > 0, a \neq 1)$ 的图象经过定点 $A (m, n)$ ，若正数x，y满足 $\frac{m}{x} + \frac{n}{y} = 1$ ，则 $\frac{x}{y} + x + 2 y$ 的最小值是（）

A、5 B、10 C、 $5 + 3 \sqrt{3}$ D、 $5 + 4 \sqrt{3}$

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8. 若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数 $f (x)$ 的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对 $(P, Q)$ 是函数 $f (x)$ 的“友好点对”，若定义域为R的函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 存在“友好点对”，则实数m的取值范围是（）

A、 $1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}$ B、 $1 - \sqrt{3} \leq m \leq 2 \sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2} \leq m \leq 1 - \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的有（）

A、若 $10 = \lg x$ ，则 $x = 100$ B、函数 $y = {(1 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 的定义域为 $(- \infty, 1)$ C、若 $2^{a} = 3^{b} = m$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $m = \sqrt{6}$ D、函数 $y = 2 x - \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[2, + \infty)$

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10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ ，都满足 $f (x) = - f (6 - x)$ ， $f (x + 1) = f (- x + 1)$ ，若 $f (a) = - f (2020)$ ， $a \in [5, 9]$ ，且 $f (x)$ 在 $[5, 9]$ 上为单调函数，则下列结论正确的有（）

A、 $f (3) = 0$ B、 $a = 8$ C、 $f (x)$ 是周期为4的周期函数 D、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 5$ 对称

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12. 函数 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{- x} (x - 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ B、函数 $f (x)$ 有且仅有2个零点 C、若 $m \leq e^{- 2}$ ，则方程 $f (x) = m$ 在 $x > 0$ 上有解 D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < 2$ 恒成立

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三、填空题

13. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足 $N = N_{0} \cdot 2^{\frac{- T}{5730}}$ （ $N_{0}$ 表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的 $\frac{3}{7}$ ，据此推测良渚古城存在的时期距今约年（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 7 \approx 0.84$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

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14. 设函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (\ln x) = x^{2} - f^{'} (1) \ln x$ ，则 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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15. 已知 $f (x) = x^{2} - m x + 4$ ， $g (x) = \log_{2} x$ ，若“ $\forall x_{1} \in [1, 4]$ ， $\exists x_{2} \in [2, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立”为真命题，则实数m的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} ， x \leq 0 \\ e^{x} ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} = a$ 恰有两个不同的实数根m，n，则 $m + n$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 已知集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x²-2mx+（m-2）（m+2）≤0，x∈R，m∈R}．
（Ⅰ）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；

（Ⅱ）若A⊆∁_RB，求实数m的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + λ \cdot 3^{- x} (λ \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求 $λ$ 的值和此时不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \leq 6$ 对 $x \in [0 ， 2]$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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19. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x$ ， $g (x) = 2 x + b$ ，当 $x = 1 + \sqrt{2}$ 时 $f (x)$ 取得极值.

(1)、求a的值，并判断 $f (1 + \sqrt{2})$ 是函数 $f (x)$ 的极大值还是极小值；

(2)、当 $x \in [- 3 ， 4]$ 时，函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有两个公共点，求实数b的取值范围.

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20. 经市场调查，某商品每吨的价格为 $x (1 < x < 14)$ 百元时，该商品的月供给量为 $y_{1}$ 万吨， $y_{1} = a x + \frac{7}{2} a^{2} - a (a > 0)$ ；月需求量为 $y_{2}$ 万吨， $y_{2} = - \frac{1}{224} x^{2} - \frac{1}{112} x + 1$ . 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.

(1)、若 $a = \frac{1}{7}$ ，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？

(2)、记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 设函数 $f (x) = x | x - m | + n$ .

(1)、当 $n = 0$ 时，试讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性；

(2)、当 $m = 1$ ， $n > 0$ 时，求函数 $y = f (x)$ 在 $[0, n]$ 上的最大值.

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22. 设 $f (x) = x \sin x + \cos x ， g (x) = x^{2} + 4$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的单调性；

(2)、令 $h (x) = g (x) - 4 f (x)$ ，试证明 $h (x)$ 在 $R$ 上有且仅有三个零点.

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