江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期数学10月第一次教学质量调研试卷

试卷更新日期：2020-11-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | y = \ln (2 - x)}$ ， $B = {y | y = 2^{x}, x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(0, 4)$

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3. 已知 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同的平面，且 $α \cap γ = m$ ， $β \cap γ = n$ ，则“ $m // n$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \sin (e^{x} + e^{- x})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 面ABC， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，且 $P A = \sqrt{3}$ ，则二面角 $P - B C - A$ 的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、无法确定

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7. 在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A作垂直于AF的直线分别与x轴正半轴和椭圆交于点M，N，若 $\vec{A M} = 3 \vec{M N}$ ，则椭圆C的离心率e的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知全集 $U = {x \in N | x = n, 1 \leq n \leq 2020}$ ，若集合 $A \subseteq U$ ， $B \subseteq U$ ， $A \cap B = \emptyset$ ，A，B的元素个数相同，且对任意的 $n \in A$ ， $2^{n} \in B$ ，则 $A \cup B$ 的元素个数最多为（）

A、20 B、18 C、16 D、以上结果都不正确

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且双曲线C的左焦点在直线 $x + y + \sqrt{5} = 0$ 上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $k_{1} k_{2}$ 为定值 $\frac{1}{4}$ D、存在点P，使得 $k_{1} + k_{2} = 1$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q < 0$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的首项 $b_{1} > 0$ ，若 $a_{9} > b_{9}$ ，且 $a_{10} > b_{10}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $a_{9} a_{10} < 0$ B、 $a_{9} > a_{10}$ C、 $b_{10} > 0$ D、 $b_{9} > b_{10}$

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11. 设 $α$ ， $β$ 是两个相交平面，则下列说法正确的是（）

A、若直线 $m ⊥ α$ ，则在平面 $β$ 内一定存在无数条直线与直线m垂直 B、若直线 $m ⊥ α$ ，则在平面 $β$ 内一定不存在与直线m平行的直线 C、若直线 $m \subset α$ ，则在平面 $β$ 内一定存在与直线m垂直的直线 D、若直线 $m \subset α$ ，则在平面 $β$ 内一定不存在与直线m平行的直线

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12. 关于函数 $f (x) = a e^{x} - \cos x$ ， $x \in (- π ， π)$ 下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x$ B、若函数 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上恰有一个极值，则 $a = 0$ C、对任意 $a > 0$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立 D、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上恰有2个零点

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三、填空题

13. 命题 $p$ ：“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定 $\neg p$ ：．

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14. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为．

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15. 在梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ，将 $△ A B C$ 沿对角线AC翻折到 $△ A M C$ ，连结MD．当三棱锥 $M - A C D$ 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为．

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四、双空题

16. 已知F是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，设点 $A (p ， 1)$ ，点M为抛物线C上任意一点，且 $M A + M F$ 的最小值为3，则 $p =$ ，若线段AF的垂直平分线交抛物线C于P、Q两点，则四边形APFQ的面积为

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五、解答题

17. 在① $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列，且 $T_{n} = 2 - b_{n}$ ；② $S_{4} = S_{2}^{2}$ ，且 $T_{n} = 2 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ 这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若__________．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和 $Q_{n}$ ．

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18. 如图，在六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} // C C_{1}$ ，底面ABCD是菱形，且 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A A_{1} C$ ．

(1)、求证：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ ；

(2)、求证： $B B_{1} // D D_{1}$ ．

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19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2} + 1$ ．

(1)、求双曲线E的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 1$ 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求 $\frac{| M N |}{| P Q |}$ 的取值范围．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求满足不等式 $T_{n} \geq \frac{30}{31}$ 的最小正整数n的值．

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21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2，且经过点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．若斜率为k的直线l与椭圆交于第一象限内的P，Q两点（点P在Q的左侧），且 $O P ⊥ P Q$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $P F_{1} // Q F_{2}$ ，求实数k的值．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a (x + \ln x)$ ， $x > 0$ ，若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得极小值．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x_{0}) > 0$ ，求证： $\frac{f (x_{0})}{x_{0} - x_{0}^{3}} > 2$ ．

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