人教新课标A版选修2-3 2.4正态分布

试卷更新日期：2020-11-17 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布 $N (0, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ），若 $P (0 < ξ < 1) = 0.4$ ，则 $P (- 1 < ξ < 0)$ ＝（）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.2

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2. 设随机变量X服从正态分布 $N (1, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (X < 0) = 0.15$ ，则 $P (0 \leq X \leq 2) =$ （）

A、0.35 B、0.6 C、0.7 D、0.85

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3. 已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（）

A、2a B、2a﹣1 C、1﹣2a D、2(1﹣a)

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4. 新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布： $X ~ N (7, σ^{2})$ ，若 $P (X > 3) = 0.872$ ，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（）

A、0.372 B、0.256 C、0.128 D、0.744

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5. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 2) = 0.023$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2)$ 等于（）

A、0.477 B、0.628 C、0.954 D、0.977

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6. 已知 $ξ \sim N (0, σ^{2})$ ，且 $P (- 2 \leq ξ \leq 0) = 0.4$ ，则 $P (ξ > 2)$ 等于（）

A、0.1 B、0.2 C、0.6 D、0.8

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7. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.8$ ，则 $P (2 < X < 4) =$ （）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.2

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8. 在某次联考数学测试中，学生成绩 $ξ$ 服从正态分布 $(100, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $ξ$ 在 $(80, 120)$ 内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（）

A、0.05 B、0.1 C、0.15 D、0.2

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9. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩 $X ~ N (110, 10^{2})$ ，若 $P (100 \leq X \leq 110) = 0.35$ ，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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10. 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布 $N (110, 100)$ ，则分数位于区间 $(130, 150]$ 分的考生人数近似为（）
（已知若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ）

A、1140 B、1075 C、2280 D、2150

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11. 某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布 $N (300, 100)$ ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（）
（参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .）

A、17 B、23 C、34 D、46

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12. 设随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (η < - 1) = 0.2$ ，则函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + η^{2} x$ 没有极值点的概率是（）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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二、多选题

13. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (100, 100)$ ，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（）．
附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (u, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < u + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (u - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$

A、该市学生数学成绩的期望为100 B、该市学生数学成绩的标准差为100 C、该市学生数学成绩及格率超过0.8 D、该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

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14. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 $N (μ, 30^{2})$ 和 $N (280, 40^{2})$ ，则下列选项正确的是（）
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ .

A、若红玫瑰日销售量范围在 $(μ - 30, 280)$ 的概率是 $0.6826$ ，则红玫瑰日销售量的平均数约为250 B、红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C、白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D、白玫瑰日销售量范围在 $(280, 320)$ 的概率约为0.3413

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三、填空题

15. 已知随机变量X服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (0 \leq X \leq 2) = 0.3$ ，则 $P (X > 4) =$ ．

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16. 已知随机变量 $ξ$ ～ $N (3, σ^{2})$ ,且 $P (ξ < 1) = 0.1$ ,则 $P (3 < ξ < 5) =$ .

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17. 设随机变量 $ξ \sim N (4, 9)$ ，若实数a满足 $P (ξ < 3 a + 2) = P (ξ > 2 a - 1)$ ，则a的值是

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18. 在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩 $ξ$ 服从正态分布 $N (100, 100)$ ，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在 $(80, 120)$ 之外的人数，则 $P (X \geq 1) =$ ， X的数学期望 $E X =$ ．
附：若随机变量Z服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ，取 ${0.9544}^{10} = 0.6271$ ， ${0.9974}^{10} = 0.9743$ ．

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四、解答题

19. 2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）.

(1)、由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ，σ²分别取考生的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S² ，请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）.

(2)、现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k的值.
附：①s²＝28.2， $\sqrt{28.2} \approx 5.31$ ；②若z～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973.

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20. 甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：

g

）均服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，在出厂检测处，直接将质量在

(μ - 3 σ, μ + 3 σ)

之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.

(1)、出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；

(2)、若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为

x g

，则“质量误差”

| x - x_{0} | g

.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是

[0, 0.3)

，

[0.3, 0.6)

、

[0.6, 1.0]

（正品零件中没有“质量误差”大于

1.0 g

的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：

质量误差	$[0, 0.1)$	$[0.1, 0.2)$	$[0.2, 0.3)$	$[0.3, 0.4)$	$[0.4, 0.5)$	$[0.5, 0.6)$	$[0.6, 0.7]$
甲厂频数	10	30	30	5	10	5	10
乙厂频数	25	30	25	5	10	5	0

（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为 $X$ （元），求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.

附：若随机变量 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ .则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ； ${0.9974}^{10} \approx 0.9743$ ， ${0.8}^{4} = 0.4096$ ， ${0.8}^{5} = 0.32768$ .

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