辽宁省鞍山市台安县2021届九年级上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2020-11-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程一定是一元二次方程的是（）

A、 $3 x^{2} + \frac{2}{x} - 1 = 0$ B、 $5 x^{2} - 6 y - 3 = 0$ C、 $a x^{2} + b x + c = 0$ D、 $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

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2. 若 $x = - 1$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 1 = 0$ 的一个根，则 $2020 + 2 a - 2 b$ 的值为（）

A、2018 B、2020 C、2022 D、2024

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3. 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）

A、2x²－6x＋1＝0 B、3x²－x－5＝0 C、x²＋x＝0 D、x²－4x＋4＝0

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4. 一元二次方程 $y^{2} - y - \frac{3}{4} = 0$ 配方后可化为（）

A、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = 1$ B、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ C、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ D、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$

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5. 一次函数 $y = a c x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列关于二次函数y＝2（x-3）²-1的说法，正确的是（）

A、图象的对称轴是直线x＝-3 B、图象向右平移3个单位则变为y＝2（x﹣3）²﹣4 C、当x＝3时，函数y有最大值﹣1 D、当x＞3时，y随x的增大而增大

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7. 如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）。若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为（）米

A、1 B、2 C、3 D、2.5

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8. 已知函数 $y = x^{2} + x - 1$ 在 $m \leq x \leq 1$ 上的最大值是1，最小值是 $- \frac{5}{4}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 2$ B、 $0 \leq m \leq \frac{1}{2}$ C、 $- 2 \leq m \leq - \frac{1}{2}$ D、 $m \leq - \frac{1}{2}$

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二、填空题

9. 一元二次方程 $(x - 2) (x + 3) = 3$ 化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是.

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10. 如果函数 $y = (k - 3) x^{k^{2} - 3 k + 2} + 7 x + 2$ 是关于 $x$ 的二次函数，则 $k =$ .

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11. 已知 $(a^{2} + b^{2} + 2) (a^{2} + b^{2}) = 8$ ，那么 $a^{2} + b^{2}$ 的值是.

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12. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y=x²+4x+5，则原抛物线的解析式是.

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13. 若关于 $x$ 的函数 $y = k x^{2} + 2 x - \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴仅有一个交点，则实数 $k$ 的值为.

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14. 有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为.

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15. 已知两点 $A (- 5 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ 均在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上，点 $C (x_{0} ， y_{0})$ 是该抛物线的顶点，若 $y_{1} > y_{2} \geq y_{0}$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围是.

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $(- 1 ， 0)$ ，且对称轴为直线 $x = 1$ ，有下列结论：
① $a b c < 0$ ；② $10 a + 3 b + c > 0$ ；③抛物线经过点 $(4 ， y_{1})$ 与点 $(- 3 ， y_{2})$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④无论 $a ， b ， c$ 取何值，抛物线都经过同一个点 $(- \frac{c}{a} ， 0)$ ；⑤ $a m^{2} + b m + a \geq 0$ ，其中所有正确的结论是.

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三、解答题

17. 解方程

(1)、 $3 x^{2} + 6 x = 4$

(2)、 $3 (x - 2) + x^{2} - 2 x = 0$

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18. 已知关于x的方程 $(m + 1) x^{2} + 2 m x + m - 3 = 0$ ，

(1)、当 $m$ 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)、给 $m$ 选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根.

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19. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 经过 $A (3 ， 0)$ ， $B (4 ， 4)$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将直线 $O B$ 向下平移 $m$ 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 $D$ ，求 $m$ 的值．

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20. 为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2016年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2018年投资18.59万元.

(1)、求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；

(2)、从2016年到2018年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，利用一元二次方程的求根公式可得： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，利用上述结论来解答下列问题：

(1)、已知 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个根为 $m$ ， $n$ ，则 $m + n =$ ， $m n =$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k - 1) x - k + 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + x_{2} + 2) (x_{1} + x_{2} - 2) + 2 x_{1} x_{2} = - 2$ ，求 $k$ 的值.

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22. 已知如图，抛物线 $y_{1} = - x^{2} + a$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $C (2 ， - 3)$ 在抛物线 $y_{1}$ 的图象上，连接 $A B$ ， $O C$ .

(1)、求抛物线 $y_{1}$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $∠ C P A = ∠ O B A$ ，求所有满足条件的点 $P$ 的坐标.

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23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件.

(1)、若现在设每件衬衫降价 $x$ 元，平均每天盈利为 $y$ 元.求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.

(2)、当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？

(3)、若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元.

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24. 在高尔夫球训练中，运动员在距球洞 $10 m$ 处击球，其飞行路线满足抛物线 $y = - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{b}{5} x$ ，其图象如图所示，其中球飞行高度为 $y (m)$ ，球飞行的水平距离为 $x (m)$ ，球落地时距球洞的水平距离为 $2 m$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；

(3)、若球洞 $4 m$ 处有一横放的 $1.2 m$ 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线 $y = - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{b}{5} x$ ，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求 $b$ 的取值范围.

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25. 2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数

y

（人）与时间

x

（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9-15表示

9 < x \leq 15

）

时间 $x$ （分钟）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	9~15
人数 $y$ （人）	0	170	320	450	560	650	720	770	800	810	810

(1)、根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；

(2)、如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

(3)、在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

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26. 如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ ）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、假若△PAC为直角三角形，直接写出点P坐标。

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