河北省唐山市2021届高三上学期数学第一次摸底试卷

试卷更新日期：2020-11-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 ${x | 0 < x < 3}$ C、 ${x | - 3 < x < 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 若复数z满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $1 + i$ D、2

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3. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）

A、24 B、14 C、12 D、8

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4. 居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果.通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度.如图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是（）

A、居民消费价格指数变化幅度相对不大 B、食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大 C、食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数 D、食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致

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5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）

A、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 平行 B、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 相交 C、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 异面垂直 D、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 异面且所成的角为60°

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6. 已知 $f (x) = 2^{x} - {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，若 $f (m) + f (n) > 0$ ，则（）

A、 $m + n > 0$ B、 $m + n < 0$ C、 $m - n > 0$ D、 $m - n < 0$

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7. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，满足 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{a} + 2 \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知 $f (x) = | \sin x | \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调 C、 $π$ 为 $f (x)$ 的周期 D、 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 为 $f (x)$ 图像的对称中心

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二、多选题

9. 设 $0 < a < b < 1$ ， $0 < c < 1$ ，则（）

A、 $c^{a} < c^{b}$ B、 $\log_{c} a < \log_{c} b$ C、 $a^{c} < b^{c}$ D、 $\log_{a} c < \log_{b} c$

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10. 若 ${(x^{2} + \frac{1}{a x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是 $- 160$ ，则（）

A、 $a = - \frac{1}{2}$ B、所有项系数之和为1 C、二项式系数之和为 $64$ D、常数项为 $- 320$

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11. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线 $l ： y = 2 \sqrt{2} x$ ，设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是C的左右焦点，点P在l上，且 $| O F_{1} | = | O P |$ ，O为坐标原点，则（）

A、C的虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ B、 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ C、 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$

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12. 已知 $f (x) = x - \frac{x^{2}}{π} - \sin x$ .（）

A、 $f (x)$ 的零点个数为4 B、 $f (x)$ 的极值点个数为3 C、x轴为曲线 $y = f (x)$ 的切线 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} = π$

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三、填空题

13. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为.

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零，若 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{2} =$ .

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15. F是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且 $| P Q | = 2$ ，则 $△ P Q F$ 外接圆的方程为.

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16. 已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c = 2$ .有以下3个条件：① $2 c \cos A = b$ ；② $2 b - a = 2 c \cos A$ ；③ $a + b = 2 c$ .请在以上3个条件中选择一个，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n}_{+ 2} = 3 a_{n}_{+ 1} - 2 a_{n} - n + 1$ .

(1)、证明 ${a_{n}_{+ 1} - a_{n} - n}$ 为等比数列；

(2)、求 $a_{n}$ .

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ，E是 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P B E ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角为45°，求二面角 $C - P E - D$ 的余弦值.

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20. 田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.

(1)、求在第一局比赛中田忌胜利的概率：

(2)、若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；

(3)、写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.

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21. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，直线 $l : x = t y + 1$ 交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点；当 $t = 0$ 时， $| A B | = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求E的方程；

(2)、设A在直线 $x = 3$ 上的射影为D，证明：直线 $B D$ 过定点，并求定点坐标.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x - \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a > \frac{1}{e}$ ，证明， $f (x) > 1 - x e^{- a x}$ .（提示： $(e^{- a x})' = - a e^{- a x}$ ）

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