河北省石家庄市2021届高三上学期数学教学质量检测试卷（一）

试卷更新日期：2020-11-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 若 $z (1 - 2 i) = 2 + i$ ，则复数 $z =$ （）

A、-1 B、-i C、1 D、i

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3. 北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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4. 已知过点 $(1, 1)$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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5. 在边长为2的等边三角形ABC中，若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A B}$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、2 C、 $\frac{10}{3}$ D、4

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6. 原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系 $N (t) = N_{0} 2^{- \frac{t}{24}}$ ，其中N₀为 $t = 0$ 时钍234的含量．已知 $t = 24$ 时，钍234含量的瞬时变化率为 $- 8 \ln 2$ ，则 $N (120) =$ （）

A、12贝克 B、12 ln2贝克 C、6贝克 D、6 ln2贝克

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7. 已知F₁、F₂分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F₁AF₂＝60°，若∠F₁AF₂的角平分线经过线段OF₂（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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8. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）

A、25︰1 B、1︰25 C、1︰5 D、5︰1

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二、多选题

9. 设非零实数 $a > b > c$ ，那么下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b c$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 ${(a - b)}^{c} > {(a - c)}^{c}$ D、 $\ln \frac{a - b}{a - c} < 0$

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10. 记函数 $f (x) = x + \ln x$ 的零点为 $x_{0}$ ，则关于 $x_{0}$ 的结论正确的为（）

A、 $0 < x_{0} < \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} < x_{0} < 1$ C、 $e^{- x_{0}} - x_{0} = 0$ D、 $e^{- x_{0}} + x_{0} = 0$

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11. 2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）

A、该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B、该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月 C、该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关 D、从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费

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12. 动点P（x，y）在单位圆x²＋y²＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间t＝0时，点P坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ ，当t∈[0，24]时，记动点P的横、纵坐标之和x＋y为关于t（单位：秒）的函数g（t），则关于函数g（t）描述正确的是（）

A、 $g (5) = \sqrt{2}$ B、g（t）在[5，17]上单调递减 C、g（13）＝g（21） D、g（t）在区间[0，24]上有3个零点

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三、填空题

13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x + y - 2 \geq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为．

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14. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，2sin2α＋1＝cos2α，则cosα＝．

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15. 设抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），线段FA与抛物线交于点B，且 $\vec{F B} = 2 \vec{B A}$ ，则|BF|＝．

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16. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n＋a_n＝1，记b_m为数列{a_n}中能使 $a_{n} \geq \frac{1}{2 m + 1} (m \in N^{*})$ 成立的最小项，则数列{b_m}的前99项之和为．

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四、解答题

17. 在① $\cos C = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，②asinC＝ccos $(A - \frac{π}{6})$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $B = \frac{π}{3}$ ，D是边BC上一点，BD＝5，AD＝7，且 ▲ ，试判断CD和BD的大小关系 ▲ ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 公差不为0的等差数列{a_n}中，前n项和记为S_n ．若a₁＝1，且S₁ ， 2S₂ ， 4S₄成等比数列，

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}}$ 的前项n项和T_n ．

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19. 中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件，是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件《意见》强调，坚持“五育”并举，全面发展素质教育．其中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一．某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：

(1)、求这1000名学生满意度打分的平均数

\bar{x}

（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关．

打分性别	不满意	满意	总计
男生			100
女生		60
总计			200

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

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20. 在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为平行四边形，M为AA₁的中点，BC＝BD＝1， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证：MD⊥平面BDC₁；

(2)、求二面角M-BC₁-D的余弦值．

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0, 1)$ ，离心率 $e$ 为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆方程；

(2)、已知不过原点的直线 $l ： y = k x + t (k \neq 0)$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $M$ ，直线 $A B, M B$ 分别与 $x$ 轴相交于点 $P, Q$ ，求 $| O P | \cdot | O Q |$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = [x^{2} + (a - 1) x + 1] e^{x}$ ，其中e为自然对数的底数．

(1)、若a＝2，求函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x) + e^{2} \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

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