2016年高考文数真题试卷（上海卷）

试卷更新日期：2016-06-16 类型：高考真卷

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一、填空题

1. 设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．

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2. 设 $Z = \frac{3 + 2 i}{i}$ ，期中 $i$ 为虚数单位，则 $Im z$ =.

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3. 已知平行直线 $l_{1} : 2 x + y - 1 = 0, l_{2} : 2 x + y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}, l_{2}$ 的距离.

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4. 某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．

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5. 若函数 $f (x) = 4 s i n x + a c o s x$ 的最大值为5，则常数 $a =$ ．

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6. 已知点 $(3 ， 9)$ 在函数 $f (x) = 1 + a^{x}$ 的图像上，则 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x) =$ ．

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7. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{cases} x \geq 0 ， \\ y \geq 0 ， \\ y \geq x + 1 ， \end{cases}$ 则 $x - 2 y$ 的最大值为．

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8. 方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．

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9. 在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．

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10. 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．

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11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．

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12.
如图，已知点O（0，0），A（1.0），B（0，−1），P是曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 上一个动点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{B A}$ 的取值范围是．

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13. 设a＞0,b＞0．若关于x,y的方程组 ${\begin{cases} a x + y = 1, \\ x + b y = 1 \end{cases}$ 无解，则 $a + b$ 的取值范围是．

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14. 无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和．若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} \in {2 ， 3}$ 则k的最大值为．

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二、选择题

15. ）设a∈R，则“a＞1”是“a²＞1”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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16.
如图，在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为BC、BB₁的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）

A、直线AA₁ B、直线A₁B₁ C、直线A₁D₁ D、直线B₁C₁

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17. 设 $a \in R$ ， $b \in [0, 2 π]$ ．若对任意实数x都有 $\sin (3 x - \frac{π}{3}) =sin (a x + b)$ ，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18. ）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）

A、①和②均为真命题 B、①和②均为假命题 C、①为真命题，②为假命题 D、①为假命题，②为真命题

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三、解答题

19.
将边长为1的正方形AA₁O₁O（及其内部）绕OO₁旋转一周形成圆柱，如图，弧AC 长为 $\frac{5 π}{6}$ ，弧A₁B₁ 长为 $\frac{π}{3}$ ，其中B₁与C在平面AA₁O₁O的同侧．

(1)、求圆柱的体积与侧面积；

(2)、求异面直线O₁B₁与OC所成的角的大小．

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20.
有一块正方形菜地 $E F G H$ ， $E H$ 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走。于是，菜地分为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近， $S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$ 点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $E F$ 的中点，点 $F$ 的坐标为（1，0），如图

(1)、求菜地内的分界线 $C$ 的方程

(2)、菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的“经验值”为 $\frac{8}{3}$ 。设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为1的点，请计算以 $E H$ 为一边、另一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $E O M G H$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的经验值

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21. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．

(1)、若l的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ， $△ F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2)、设 $b = \sqrt{3}$ ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．

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22. 对于无穷数列{ $a_{n}$ }与{ $b_{n}$ }，记A={ $x$ | $x$ = $a$ ， $n \in N^{*}$ }，B={ $x$ | $x$ = $b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ }，若同时满足条件：①{ $a_{n}$ }，{ $b_{n}$ }均单调递增；② $A \cap B = \emptyset$ 且 $A \cup B = N^{*}$ ，则称{ $a_{n}$ }与{ $b_{n}$ }是无穷互补数列．

(1)、若 $a_{n}$ = $2 n - 1$ ， $b_{n}$ = $4 n - 2$ ，判断{ $a_{n}$ }与{ $b_{n}$ }是否为无穷互补数列，并说明理由；

(2)、若 $a_{n}$ = $2^{n}$ 且{ $a_{n}$ }与{ $b_{n}$ }是无穷互补数列，求数列{ $b_{n}$ }的前16项的和；

(3)、若{ $a_{n}$ }与{ $b_{n}$ }是无穷互补数列，{ $a_{n}$ }为等差数列且 $a_{16}$ =36，求{ $a_{n}$ }与{ $b_{n}$ }得通项公式．

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23. 已知 $a \in$ R，函数 $f (x)$ = $\log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x)$ ＞1；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x)$ + $\log_{2} (x^{2})$ =0的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的值；

(3)、设 $a$ ＞0，若对任意 $t \in$ $[\frac{1}{2}, 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t, t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

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