河北省唐山市2020-2021学年高二上学期数学9月质量检测试卷

试卷更新日期：2020-11-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 3)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-6 B、6 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = \sqrt{2}$ ， $A C = 1$ ， $B = 45^{\circ}$ ，则 $A =$ （）

A、45° B、60° C、90° D、135°

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3. 同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为6的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{36}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1000} + a_{1021} = 1$ ，则 $S_{2020} =$ （）

A、2020 B、1021 C、1010 D、1002

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5. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 4 \\ 3 x + y \geq 2 \\ x - y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（）

A、1.2 B、1.5 C、1.6 D、1.8

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $M = \frac{x^{2}}{x + 2 y}$ ， $N = \frac{4 (x - y)}{5}$ ，则 $M$ 和 $N$ 大小关系为（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、以上都有可能

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8. 以下三个命题：
①对立事件也是互斥事件；②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为 $\frac{3}{5}$ ，每个女生被抽到的概率为 $\frac{2}{5}$ ；③若事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则 $P (A) + P (B) + P (C) = 1$ .

其中正确命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $4 a b + 2 a + b = 4$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 下图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（）

A、平均数为74 B、众数为60或70 C、中位数为75 D、该校数学月考成绩80以上的学生约占25%

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 中点， $E$ 在线段 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$

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12. 某海域 $A$ 处的甲船获悉，在其正东方向相距 $50 \sqrt{3} n mile$ 的 $B$ 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息通知在 $A$ 南偏东30°，且与 $A$ 处相距 $25 \sqrt{3} n mile$ 的 $C$ 处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度？（）

A、30° B、45° C、90° D、60°

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{3} + a_{5} = 1$ ，则 $a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} =$ .

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14. 已知 $x > 0$ ，则 $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x}$ 的最小值为.

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15. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 6)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量的坐标为.

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三、双空题

16. 学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择.调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有20%改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有30%改选A套餐.用 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 分别表示第 $n$ 个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数.第一个周一选A套餐的人数为 $a_{1}$ 人.

(1)、如果每个周一选A套餐人数总相等，则 $a_{1} =$ .

(2)、若 $a_{1} = 350$ ，则从第个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数.

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四、解答题

17. 为了研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据：

天数 $t$ （天）

4

5

6

7

8

发芽个数 $y$ （千个）

2

2.5

4

5.5

6

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$

(1)、求 $y$ 关于 $t$ 的回归直线方程；

(2)、利用（1）中的回归直线方程，预测当 $t = 10$ 时，菜籽发芽个数.

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18. 当 $a \leq 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (1 - 3 a) x - 3 \leq 0$ .

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19. 街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位，供群众销售商品.某日街道办统计摊主的当日利润（单位：元），绘制如下茎叶图.

(1)、根据茎叶图，计算东区10位摊主当日利润的平均数，方差；

(2)、从当日利润90元以上的摊主中，选出2位进行经验推介，求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率.

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积S满足 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} S = \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a c = b \cos A + a \cos B$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值.

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} a_{2} = 3$ ， $S_{3} = 6$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n - 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形 $A O B$ ，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于 $A O$ 的小路 $C D$ .已知某人从C沿 $C D$ 走到D用了8分钟，从D沿 $D B$ 走到B用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米.

(1)、求 $△ C D B$ 的面积；

(2)、求该扇形的半径 $O A$ 的长.

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天数 $t$ （天）	4	5	6	7	8
发芽个数 $y$ （千个）	2	2.5	4	5.5	6