河北省邯郸市大名一中2020-2021学年高二上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2020-11-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若a $\in$ R，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2. 已知正数m满足 $m^{2} - 2 m = 8$ ，则椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm \sqrt{3}, 0)$ B、 $(0, \pm \sqrt{3})$ C、 $(\pm \sqrt{3}, 0)$ 或 $(\pm \sqrt{5}, 0)$ D、 $(0, \pm \sqrt{3})$ 或 $(\pm \sqrt{5}, 0)$

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3. 已知命题P： $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 = 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin R, x^{2} + 2 x + 2 = 0$ B、 $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \neq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \neq 0$ D、 $\exists x \notin R, x^{2} + 2 x + 2 \neq 0$

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4. “平面α内存在无数条直线与直线 $l$ 平行”是“直线 $l / /$ 平面α“的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知点P是直线l： $3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点P引圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线PM，PN，M，N为切点，当 $∠ MPN$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ 时，则r的值为 $($ 　　 $)$

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 要完成下列3项抽样调查：
①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查．
②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈．
③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（）

A、①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B、①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C、①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D、①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

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7. 从 $4$ 名男生和 $2$ 名女生中任选 $3$ 人参加演讲比赛，则所选 $3$ 人中至少有 $1$ 名女生的概率（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R ， r$ ，当 $R = 4 r$ 时，椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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二、多选题

9. 在统计中，由一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots (x_{n}, y_{n})$ 利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，那么下面说法正确的是（）

A、直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots (x_{n}, y_{n})$ 中的一个点 B、直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必经过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 表示最接近 $y$ 与 $x$ 之间真实关系的一条直线 D、 $| r | \leq 1$ ，且 $| r |$ 越接近于1，相关程度越大； $| r |$ 越接近于0，相关程度越小

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10. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点，以下说法正确的是（）

A、过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $Δ A B F_{1}$ 的周长为 $8$ . B、椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} = 0$ . C、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 一点， $Q$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则点 $P$ ， $Q$ 的最大距离为 $3$ .

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11. 下列命题中正确的是（）

A、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ B、 $\exists x \in (0, 1)$ ， $\log_{2} x < \log_{3} x$ C、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x} > \log_{\frac{1}{3}} x$ D、 $\forall x \in (0, \frac{1}{3})$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x} < \log_{\frac{1}{3}} x$

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12. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 5, A, B$ 为圆 $O$ 上的两个动点，且 $A B = 2, M$ 为弦 $A B$ 的中点 $C (2 \sqrt{2}, a)$ ， $D (2 \sqrt{2}, a + 2)$ .当 $A, B$ 在圆 $O$ 上运动时，始终有 $∠ C M D$ 为锐角，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、-3 B、-2 C、0 D、1

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三、填空题

13. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ 上存在两点关于直线 $l : x + m y + 1 = 0$ 对称，则实数 $m =$ .

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14. 若 $x$ ， $y$ 为实数，则“ $x y > 0$ ”是“ $| x + y | = | x | + | y |$ ”的条件.（在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写）

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15. 1某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中根棉花纤维的长度小于15mm．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + y^{2} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上任意一点，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作 $y$ 轴的垂线，垂足为N，线段 $Q N$ 的中点为M，则点M的轨迹方程为.

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四、解答题

17. 已知动点 $P$ 与两个定点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ 的距离的比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B (- 2, 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，求线段 $M N$ 长度的最小值；

(3)、已知圆 $Q$ 的圆心为 $Q (t, t) (t > 0)$ ，且圆 $Q$ 与 $x$ 轴相切，若圆 $Q$ 与曲线 $C$ 有公共点，求实数 $t$ 的取值范围.

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18. 已知命题 $p$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} < 0 (a > 0)$ ；命题 $q$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $p \land q$ 为真，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 某普通高中共有教师 $360$ 人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：

第一批次

第二批次

第三批次

女教师

86

$x$

$y$

男教师

94

66

$z$

已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1．

（Ⅰ）求 $x, y, z$ 的值；

（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:60 的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？

（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．

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20. 已知命题 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，命题 $q$ ： $\forall x \in R$ ,不等式 $x^{2} + 2 m x + 2 m + 3 > 0$ 恒成立.

(1)、若“ $\neg q$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若“ $p \land q$ ”为假命题，“ $p \lor q$ ”为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），右焦点 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，点 $D (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆上；

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且 $∠ A F B = 90 °$ ？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,且椭圆 $C$ 过点 $(\sqrt{3}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ,过点 $(1, 0)$ 作两条相互垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ,分别与椭圆 $C$ 交于 $P, Q, M, N$ 四点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $\overset{⇀}{M S} = \overset{⇀}{S N}, \overset{⇀}{P T} = \overset{⇀}{T Q}$ ,探究：直线 $S T$ 是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.

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	第一批次	第二批次	第三批次
女教师	86	$x$	$y$
男教师	94	66	$z$