山西省忻州市2019-2020学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 $27 m^{6} \div {(- 3 m^{2})}^{3}$ 的结果是（）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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2. 若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、0 B、1 C、-2 D、 $\pm 2$

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3. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 66^{\circ}$ ， $∠ C = 34^{\circ}$ ， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的角平分线，则 $∠ C A D$ 的度数为（）

A、 $55^{\circ}$ B、 $50^{\circ}$ C、 $45^{\circ}$ D、 $40^{\circ}$

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4. 如图，将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不交，则所得图形与原图形的关系是（）

A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位 D、将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位

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5. 计算 $(2 m + 3) (m - 1)$ 的结果是（）

A、 $2 m^{2} - m - 3$ B、 $2 m^{2} + m - 3$ C、 $2 m^{2} - m + 3$ D、 $m^{2} - m - 3$

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6. 分式方程 $\frac{1}{3 x} - \frac{2}{x + 5} = 0$ 的解为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = 2$ D、 $x = 3$

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7. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - 2 x = x (x + 2)$ B、 $a^{2} - a - 6 = (a - 2) (a + 3)$ C、 $4 a^{2} + 4 a b - b^{2} = {(2 a - b)}^{2}$ D、 $4 x^{2} - y^{2} = (2 x + y) (2 x - y)$

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8. 若 $\frac{a - b}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9. 某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析：在对生活垃圾进行分类时，机器人分类120桶所用的时间与人工分类90桶所用的时间相同，已知机器人每小时比人工多分类20桶垃圾.若设机器人每小时分类 $x$ 桶垃圾，则可列方程为（）

A、 $\frac{120}{x - 20} = \frac{90}{x}$ B、 $\frac{120}{x + 20} = \frac{90}{x}$ C、 $\frac{120}{x} = \frac{90}{x - 20}$ D、 $\frac{120}{x} = \frac{90}{x + 20}$

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10. 如图，已知 $A B = C D$ 且 $A B ⊥ C D$ ，连接 $A D$ ，分别过点 $C ， B$ 作 $C E ⊥ A D$ ， $B F ⊥ A D$ ，垂足分别为 $E ， F$ .若 $A D = 10$ ， $C E = 8$ ， $B F = 6$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、4 B、 $\frac{7}{2}$ C、3 D、 $\frac{5}{2}$

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二、解答题

11. 若 $b = a - 3$ ，则代数式 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的值为．

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12. 2019年华为发布 $7 n m$ “鲲鹏920”计算芯片：64核心业内性能最强！ $7 n m$ 也就是0.000000007 $m$ ，数据0.000000007 $m$ 可以用科学记数法表示为m.

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13. 如图， $a / / b$ ，点 $A$ 在直线a上，点 $C$ 在直线b上， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C$ ，若 $∠ 1 = 70^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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14. 如图，已知 $A D$ 和 $B C$ 相交于点 $O$ 且 $A D = B C$ ，分别连接 $A C ， A B ， B D$ ，已知 $A C = B D$ ， $∠ A B C = 20^{\circ}$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为°．

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15.

(1)、因式分解： $(m + n) (m - n) - n (2 m - n)$

(2)、计算： $3 x^{2} {(- 2 x y)}^{2} - x^{3} (x y^{2} - 2)$

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16. 先化简，再求值： $(\frac{6 a}{a^{2} - 9} + \frac{a - 3}{a + 3}) \div \frac{1}{a^{2} - 9}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ .

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17. 如图所示，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”. $Δ A B C$ 是一个格点三角形，请你在图1，图2，图3中分别画出一个与 $Δ A B C$ 成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影.（注：所画的三个图不能重复.）

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ .

(1)、利用尺规作 $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，并在图中标明相应字母.（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、延长 $A C$ 到点 $E$ （不要求尺规作图），使 $C E = C D$ ，猜想线段 $A B$ 与 $A E$ 的关系，并说明理由.

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19. 观察下列两位数（十位数字相同，个位数字的和是10）相乘的等式.
$11 \times 19 = 209$ ； $22 \times 28 = 616$ ； $34 \times 36 = 1224$ ； $47 \times 43 = 2021$ ； $55 \times 55 = 3025$ ；…

我们发现了一个速算法则：两个两位数相乘，如果这两个乘数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将其中一个乘数的十位数字与另一个乘数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位（即千位和百位，数位不足两位的，千位看作0）；再将两个乘数的个位数字相乘，所得的积作为计算结果的后两位是 $7 \times (7 + 1) = 56$ ，它们乘积的后两位是 $1 \times 9 = 09$ ，所以 $71 \times 79 = 5609$ .请解答下列问题：

(1)、计算： $72 \times 78 =$ ；

(2)、若设其中一个乘数的十位数字为 $a$ ，个位数字是 $b$ （ $a ， b$ 表示1到9的整数）.请通过计算解释速算法则.

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20. 某商场用9000元购进一批新款保暖内衣，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批，数量是第一批的2倍，但每件的进价涨了10元，第二批共用去21000元.求该商场第一批购进这种保暖内衣多少件？

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21. 阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根：解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现 $0 = 0$ 的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：

(1)、若解分式方程 $\frac{1 - x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 时产生了增根，这个增根是；

(2)、小明认为解分式方程 $\frac{2 x}{x^{2} + 1} - \frac{3}{2 x^{2} + 2} = 0$ 时，不会产生增根，请你直接写出原因；

(3)、解方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$

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22. 已知，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的高.

(1)、操作发现：如图1，过点 $D$ 分别作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $E ， F$ .请直接写出 $D E + D F$ 和 $A D$ 的数量关系；

(2)、如图2，若点 $P$ 为 $A D$ 上任意一点（不与 $A ， D$ 重合），过点 $P$ 作 $P E ⊥ A B$ ， $P F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $E ， F$ .判断 $P D + P E + P F$ 和 $A D$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、拓广探索：
如图3，点 $P$ 为等边三角形 $A B C$ 内任意一点，过点 $P$ 作 $P H ⊥ B C$ ， $P E ⊥ A B$ ， $P F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $H ， E ， F$ ，探究 $P H + P E + P F$ 和 $A D$ 的数量关系，并说明理由.

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三、填空题

23. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $S_{Δ A B C} = 12$ ，点 $D ， E$ 分别是 $A B ， B C$ 的中点，点 $F$ 在 $A C$ 上，且 $F D ⊥ A B$ .若点 $P$ 为线段 $D F$ 上一动点，连接 $B P ， E P$ ，则 $Δ B P E$ 周长的最小值是．

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