江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一元二次方程x²﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A、1，4，3 B、0，﹣4，﹣3 C、1，﹣4，3 D、1，﹣4，﹣3

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2. 已知关于x的一元二次方程x²+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、实数根的个数与实数b的取值有关

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3. 有下列四个命题：
①经过三个点一定可以作圆②等弧所对的圆周角相等；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； ④在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）

A、55° B、65° C、60° D、75°

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 50 m$ ， $B C = 40 m$ ， $∠ C = 90^{\circ}$ ，点P从点A开始沿AC边向点C以 $2 m / s$ 的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以 $3 m / s$ 的速度沿着射线CB匀速移动，当 $△ P C Q$ 的面积等于 $300 m^{2}$ 运动时间为 $($ $)$

A、5秒 B、20秒 C、5秒或20秒 D、不确定

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6. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0）．与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16）．则圆心M到坐标原点O的距离是（）

A、10； B、8 $\sqrt{2}$ ； C、4 $\sqrt{13}$ ； D、2 $\sqrt{41}$ ；

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二、填空题

7. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c =$ ．

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8. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为.

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9. 设m ， n是一元二次方程x²＋2x－7＝0的两个根，则m²＋3m＋n＝.

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10. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是.

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11. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD= ，且AE：BE =1：3，则AB=.

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12. 如图，直线 a⊥b ，垂足为H，点P在直线b上， $P H = 4 c m$ ，O为直线b上一动点，若以 $1 c m$ 为半径的 $⊙ O$ 与直线a相切，则 $O P$ 的长为.

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13. 如图，在 $6 \times 6$ 的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作 $△ A B C$ 的外接圆，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长等于.

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14. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ 的根，则该三角形的周长为.

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15. 疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是.

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16. 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r₁；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r₂ ，则r₁：r₂= ．

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三、解答题

17. 解答下列各题：

(1)、用配方法解方程： $x^{2} - 8 x - 4 = 0$ .

(2)、已知一元二次方程 $2 x^{2} - m x - m = 0$ 的一个根是 $- \frac{1}{2}$ .求 $m$ 的值和方程的另一个根.

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18. 已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²﹣mx+ $\frac{m}{2}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ＝0的两个实数根.

(1)、m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

(2)、若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？

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19. 如图1，有一张长 $40 c m ，$ 宽 $20 c m$ 的长方形硬纸片，裁去角上 $2$ 个小正方形和 $2$ 个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.

(1)、若纸盒的高是 $3$ cm，求纸盒底面长方形的长和宽；

(2)、若纸盒的底面积是 $150 c m^{2}$ ，求纸盒的高.

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20. 如图，⊙ $O$ 中，弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点E， $A B = C D$ ，连接 $A D 、 B C$ .

求证：

(1)、 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B C}$ ；

(2)、 $A E = C E$ .

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21. 如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）.

（ 1 ）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长.

（ 2 ）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积.

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22. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

(1)、若降价3元，则平均每天销售数量为件；

(2)、当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

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23. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C E}$ ，连接OA、OF．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．

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24. 已知：如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = A C ， B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $A C$ 交 $⊙ O$ 于点 $E ， ∠ B A C = 45 °$ .

(1)、求 $∠ E B C$ 的大小；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为2，求图中阴影部分的面积.

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25. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x ， y ， z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ， y ， z构成“和谐三数组”.

材料二：若关于x的一元二次方程ax²+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

问题解决：

(1)、请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的方程ax²+bx +c= 0 (a ， b ， c均不为0)的两根， $x_{3}$ 是关于x的方程bx+c=0(b ， c均不为0)的解．求证：x₁ ，x₂ ， x₃可以构成“和谐三数组”；

(3)、若A(m ， y₁) ，B(m + 1，y₂) ，C(m+3，y₃)三个点均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．

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26. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A D C$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等边三角形；

(2)、过点 $B$ 作 $B E // C D$ 交 $D A$ 的延长线于点 $E$ ，若 $A D = 2 ， D C = 3$ ，求 $△ B D E$ 的面积．

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27. 问题提出：

(1)、如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是.

(2)、问题探究：如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值.

(3)、问题解决：如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

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