浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | 1 < x < 3}$

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2. 把复数 $z$ 的共轭复数记作 $\bar{z}$ ， $i$ 为虚数单位，若 $z = 1 - i$ ，则 $(1 - i) \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、-2 D、2

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3. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$

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4. 设实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y - 1 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $2 x - y$ 的取值范围（）

A、 $[- 4 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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5. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则 $m ⊥ n$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ， $α ⊥ β$ B、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$ C、 $m \subset α$ ， $n // β$ ， $α ⊥ β$ D、 $m \subset α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$

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6. 已知 $a = 2^{0.2}$ ， $b = \log_{2} 0.2$ ， $c = \log_{0.2} 0.3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 函数 $y = \frac{x \cos x + \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为 $ξ$ ，则随机变量 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ （）

A、 $\frac{26}{27}$ B、 $\frac{28}{27}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D {}_{1}$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ， $M$ ， $N$ 为体对角线 $B D_{1}$ 的三等分点，动点 $P$ 在三角形 $A C B_{1}$ 内，且三角形 $P M N$ 的面积 $S_{△ P M N} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{9} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{9} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3} π$

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10. 定义运算 $\vec{m} = (x_{1} ， x_{2} ， x_{3})$ ， $\vec{n} = (y_{1} ， y_{2} ， y_{3})$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3}$ ，若 $\vec{a} = (\sin α ， - \sin α ， \sin β)$ ， $\vec{b} = (\sin α ， \sin β ， \sin β)$ ，则平面区域 $S = {(α ， β) | α ， β \in [0 ， \frac{π}{2}] ， \vec{a} \cdot \vec{b} \leq \frac{3}{4}}$ 的面积为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π^{2}}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π^{2}}{3}$

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二、双空题

11. 在二项式 ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - x)}^{5}$ 的展开式中各项系数和为；含 $x^{2}$ 项的系数为．

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{3} = \frac{1}{3}$ ， $(a_{n + 1} + 1) (a_{n} + 1) = 2$ ，则 $a_{1} =$ ； $S_{12} =$ ．

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13. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，该几何体的体积（单位：cm³）是；该几何体的表面积（单位：cm³）是．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 2 D C$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，则 $A =$ ； $\frac{c + b}{a} =$ ．

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三、填空题

15. 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位偶数.

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16. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 与点 $B$ 关于原点 $O$ 对称，直线 $A P$ 与直线 $B P$ 相交于点 $P$ ，且它们的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B P$ 的面积的取值范围是．

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ， $\vec{c} - \vec{a}$ 与 $\vec{c} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in (\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12})$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，面 $P B D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A B // D C$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $A D = B C = \sqrt{10}$ ， $A P = 2 \sqrt{3}$ ， $P B = 2$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、求 $B D$ 与面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，其中 ${a_{n}}$ 为等差数列，且满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 3$ ， $a_{n} b_{n + 1} = a_{n + 1} b_{n} + \frac{n (n + 1)}{2^{n}}$ ， $n \in Ν^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n} - 1}{(2 a_{n + 1} - b_{n + 1}) (2 a_{n} - b_{n}) 2^{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < \frac{2^{n}}{n} - 1$ ．

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21. 已知动圆 $C$ 过点 $P (0 ， 4)$ ，且在 $x$ 轴上截得的弦长为8．

(1)、求动圆的圆心 $C$ 的轨迹方程；

(2)、当点 $Q$ 在椭圆 $E ： \frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ 上移动，过点 $Q$ 作曲线 $C$ 的两条切线记作 $Q A$ ， $Q B$ ，其中 $A$ ， $B$ 为切点，椭圆的一个顶点为 $D (0 ， 2)$ ，求 $| A D | \cdot | B D |$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{t x} - \frac{\ln x}{t}$ ， $t > 0$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象在 $x$ 轴的同侧（含 $x$ 轴），
（i）求 $t$ 的最小值；

（ii）当 $t$ 取到最小值时，若对任意实数 $a \in [- 1 ， 1]$ ，都有 $k \ln \sqrt{a^{2} + 1} \leq \frac{e^{\frac{x}{e}} - f (x)}{e \ln x} - \cos α$ 恒成立，试求实数 $k$ 的取值范围．

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