浙江省五校2020-2021学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}}$ ， $B = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cup B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$

查看试题解析
2. “直线 $l$ 与平面 $α$ 内无数条直线垂直”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不必要也不充分条件

查看试题解析
3. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 2 y \leq 2 \\ x - y \geq - 1 \\ - 1 \leq y \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

查看试题解析
4. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 7)$ ， $\vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 \sin C = \tan A (1 - 2 \cos C)$ ， $c = 2 b$ ，则 $\cos B$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图象是下列图中的（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 3 n (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、 ${a_{n}}$ 为摆动数列 C、 $a_{n} = 3 \times 2^{n + 1} - 9$ D、 $S_{n} = 6 \times 2^{n} - 3 n - 6$

查看试题解析
8. 已知 $2 + 5 \cos 2 α = \cos α$ ， $\cos (2 α + β) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，则 $\cos β$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{44}{125}$ C、 $- \frac{44}{125}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
9. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 3 y$ ，过点 $P (m ， - \frac{3}{4}) (m \in R)$ 作抛物线的切线 $P A$ 、 $P B$ ，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点到 $x$ 轴距离之和的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{1}{x} | + | a - x + \frac{1}{a - x} | (a \in R)$ ， $g (x) = p {[f (x)]}^{2} - q (p q > 0)$ ，给出下列四个命题：
①函数 $f (x)$ 图象关于点 $(0 ， 0)$ 对称；②对于任意 $a \in R$ ，存在实数 $m$ ，使得函数 $f (x + m)$ 为偶函数；③对于任意 $a \in R$ ，函数 $f (x)$ 存在最小值；④当 $a = 1$ 时，关于 $x$ 的方程 $g (x) = 0$ 的解集可能为 ${- 3 ， - 1 ， 1 ， 2}$ ，

其中正确命题为（）

A、②③ B、②④ C、②③④ D、①③④

查看试题解析

二、双空题

11. 不等式 $3^{x^{2} - 3 x + 1} > {(\frac{1}{3})}^{x}$ 的解集是；不等式 $\log_{2} (2 - x) < \log_{4} x$ 的解集是.

查看试题解析
12. 函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[- π ， π]$ 的图象如下图，则 $f (x)$ 的最小正周期为； $f (π) =$ .

查看试题解析
13. 已知双曲线 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 为双曲线上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}$ ，则双曲线的渐近线方程为；若双曲线 $C$ 的实轴长为4，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为.

查看试题解析

三、填空题

14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{1 - x} - 4 ， x < 1 \\ x^{3} - 3 x^{2} ， x \geq 1 \end{matrix}$ （其中 $e$ 是自然对数的底数），则 $f (f (2)) =$ ；若 $y = f (x)$ 与 $y = 9 x + b$ 的图象有两个不同的公共点，则实数 $b$ 的取值范围是.

查看试题解析
15. 某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.

查看试题解析
16. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是非零向量， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ， $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = - 2$ ， $λ$ 为任意实数，当 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 时， $| \vec{c} - λ \vec{a} |$ 的最小值是.

查看试题解析
17. 若a，b为实数，且 $1 \leq a \leq 3$ ， $2 \leq b \leq 4$ ，则 $\frac{a^{3} + 4 b}{a b^{2}}$ 的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题

18. 已知 $f (x) = \sin x (\sin x - \sqrt{3} \cos x)$ ， $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (A) = \frac{3}{2}$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

查看试题解析
19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、作 $A M ⊥ P B$ 于 $M$ ， $A N ⊥ P C$ 于 $N$ ，求证： $P C ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - A$ 的正切值.

查看试题解析
20. 已知数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} a_{n} + b_{n} a_{n + 1} = {(- 3)}^{n} + 1$ ， $b_{n} = {\begin{array}{l} 2, n \in 2 k + 1 \\ 1, n \in 2 k \end{array}$ 且 $k \in N$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 2$ .

(1)、设 $c_{n} = a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，求 $c_{1}$ ，并证明：数列 ${c_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，求 $S_{2 n}$ .

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆C交于A，B两个不同的点，M为AB中点， $N (- 1, 0)$ ，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求 $| M N |$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a \sin x + \sin 2 x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调区间；

(2)、若 $a = 1$ ，不等式 $f (x) \geq b x \cos x$ 对任意 $x \in (0 ， \frac{2 π}{3})$ 恒成立，求满足条件的最大整数b.

查看试题解析