浙江省金色联盟(百校联考)2020-2021学年高三上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x$ $| 1 < x < 3}$ ， $Q = {y | 2< y < 4$ $}$ ，则 $P \cup Q =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 2 < x < 3}$ C、 ${x | 1 < x < 4}$ D、 $\emptyset$

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2. 复数 $z = 2$ $- 3 i$ （ $i$ 为虚数单位）的虚部为（）

A、2 B、3 C、-3 D、 $- 3 i$

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y + 1 > 0 \\ x - y > 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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4. 函数 $y = - 2 x \cos x$ 的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 一个空间几何体的三视图（单位： $cm$ ）如图所示，则该几何体的体积为（） ${cm}^{3}$ .

A、 $\frac{π}{6} + \frac{1}{3}$ B、 $\frac{π}{3} + \frac{1}{6}$ C、 $\frac{π}{6} + \frac{1}{6}$ D、 $\frac{π}{3} + \frac{1}{3}$

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6. “空间三个平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $m > n > 0$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，设 $M = a^{m} + a^{- m}$ ， $N = a^{n} + a^{- n}$ ，则（）

A、 $M > N$ B、 $M = N$ C、 $M < N$ D、 $(M - N) (a - 1) > 0$

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8. 已知点 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段 $P F_{1}$ 的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{n} = 2^{n}$ ， $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ， $M = (1 + \frac{1}{b_{1}}) (1 + \frac{1}{b_{2}}) (1 + \frac{1}{b_{3}}) \dots (1 + \frac{1}{b_{n}})$ ，n∈N*，则（）

A、 $M < 1$ B、 $M > \frac{4}{3}$ C、 $M < 2$ D、 $M > 2$

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10. 已知向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{c} | = 4$ ， $| \vec{d} | = 4$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) =$ （）

A、4 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、1

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二、填空题

11. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上，则数列 ${a_{n}}$ 的前4项和是.

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12. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + c (a < b < c)$ 有两个零点为 $- 1$ 和 $m$ ，则实数 $m$ 的范围是.

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13. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x^{2} + b |$ ， $x \in [0, 1]$ ，设 $f (x)$ 的最大值为 $M$ ，若 $M_{\min} = 1$ 时，则 $a$ 的取值范围为.

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三、双空题

14. 二项式 ${(x - 2)}^{10}$ 的展开式中，常数项为，若 ${(x - 2)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ，则 $a_{9}$ 等于.

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15. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$ ，则 $\tan α =$ ， $\cos 2 α =$ .

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16. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M ， N ， P$ 分别是棱 $C C_{1} ， C_{1} D_{1} ， A_{1} D_{1}$ 的中点，过点 $M ， N ， P$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的平面多边形的周长为，该截面与底面所成锐二面角的正切值为.

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17. 在一袋中有 $20$ 个大小相同的球，其中记上 $0$ 的有 $10$ 个，记上 $n$ 号的有 $n$ 个（ $n$ ＝ $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ），现从袋中任取一球， $X$ 表示所取球的标号，则 $p (X = 2) =$ ，若 $Y = 2 X + m$ ，且 $E (Y) = 1$ ，则 $m =$ .

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四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \sin A = \sqrt{3} a \cos B + a \sin B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、设点 $D$ 是 $A C$ 的中点，若 $B D = \sqrt{3}$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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19. 如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $D B N M$ ，且菱形 $A B C D$ 与菱形 $D B N M$ 全等，且 $∠ M D B = ∠ D A B$ ， $G$ 为 $M C$ 中点.

(1)、求证：平面 $G B D / /$ 平面 $A M N$ .

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $A M N$ 的所成角的正弦值.

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 42$ ， $a_{3} + 9$ 是 $a_{1}$ ， $a_{5}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n} + a_{n}}$ ，设 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{21}{13}$ .

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21. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 到抛物线准线的距离为 $2$ ，若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点也为 $F$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求抛物线方程和椭圆方程；

(2)、若不经过 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 3$ （ $O$ 为坐标原点），直线 $l$ 与椭圆交于 $C, D$ 两点，求 $△ C D F$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} (e = 2.718 \dots)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、 $g (x) = e^{x} (f (x) + a x^{2} - 1 - x)$ ，证明： $g (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $\frac{2}{e^{3}} < g (x_{0}) < \frac{1}{4}$ .

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