广西梧州市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1, 2}$ , $B = {2, 3, 4}$ ,则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1, 2, 3, 4}$ B、 ${1, 2, 2, 3, 4}$ C、{2} D、 ${1, 3, 4}$

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2. 下列函数是偶函数且在区间 $(- \infty, 0)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = | x |$ D、 $y = - x^{2}$

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3. 直线 $l_{1} ： 3 x + y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} ： 2 x - 6 y + 1 = 0$ 的位置关系是（）

A、重合 B、垂直 C、平行 D、相交但不垂直

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4. 函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1} ， x \in [2 ， 6]$ 的值域为（）

A、R B、 $[\frac{1}{3} ， 2]$ C、 $[\frac{2}{5} ， 2]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

则函数 $f (x)$ 一定存在零点的区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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6. 如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（）

A、1 B、4 C、1或3 D、1或4

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7. 设 $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面， $m ， n$ 是两条不同的直线，下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α / / β ， m \subset α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α ， α ⊥ β ， n / / β$ ，则 $m ⊥ n$

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8. 已知 $a = \log_{2} 0.3 ， b = 2^{0.5} ， c = {0.3}^{0.5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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9. 已知圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $x^{2} + {(y - b)}^{2} = 1$ 外切，则（）．

A、 $a^{2} + b^{2} = 4$ B、 $a^{2} + b^{2} = 2$ C、 $a^{2} + b^{2} = 1$ D、 $a^{2} + b^{2} = 8$

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10. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则函数 $f (x) = a^{x}$ 和 $g (x) = \log_{a} (- \frac{1}{x})$ 的图象只可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图是一个四棱锥的三视图，其高为1，底面是边长为2的正方形，那么这个几何体的外接球表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $\frac{9 π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $3 π$

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12. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点．那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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二、填空题

13. 化简 $3 x^{- \frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$ 的结果为.

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14. 经过两条直线 $3 x + 5 y - 1 = 0$ 和 $4 x + 3 y - 5 = 0$ 的交点且斜率为1的直线 $l$ 的方程是.

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15. 设直线 $a x - y + 3 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于A,B两点，且弦AB的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $a$ =.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} (- x), x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) > f (- a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | - 3 < x < 4}$ ， $B = {x | 2 \leq x \leq 9}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、已知集合 $C = {x | a - 1 \leq x \leq a + 1}$ ，若 $C \cap A = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 + \frac{1}{x - a}$ 的图象经过点 $(2, 3)$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、求 $a$ 的值和函数 $f (x)$ 的定义域;

(2)、用函数单调性的定义证明 $f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上是减函数.

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19. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知底面 $A B C$ 是等边三角形， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.

(参考公式：锥体体积公式 $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高.)

(1)、求证： $A D ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、设 $A A_{1} = A B = 2$ ，求三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积.

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上且经过点 $(1, 5)$ 与点 $(4, 2)$ ，过点 $B (2, 3)$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的方程;

(2)、当 $| M N |$ 最小时，求直线 $l$ 的方程以及 $| M N |$ 的值.

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21. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⏊PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点．求证：

(1)、EF//平面PCD；

(2)、平面PAB⏊平面PCD ．

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (其中 $a \neq 0$ )满足下列三个条件:① $f (x)$ 图象过坐标原点;②对于任意 $x \in R$ 都 $f (- \frac{1}{2} + x) = f (- \frac{1}{2} - x)$ 成立;③方程 $f (x) = x$ 有两个相等的实数根.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式;

(2)、令 $g (x) = f (x) - | λ x - 1 |$ (其中 $λ > 0$ )，求函数 $g (x)$ 的单调区间(直接写出结果即可);

(3)、研究方程 $g (x) = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内的解的个数.

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