广西河池市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | \log_{2} x < 2}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 0}$ B、 ${x | - 2 \leq x < 0}$ C、 ${x | 2 ⩽ x ⩽ 4}$ D、 ${x | 0 < x ⩽ 2}$

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2. 圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 6 = 0$ 的半径为（）

A、4 B、 $\sqrt{26}$ C、11 D、 $\sqrt{11}$

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3. 已知 $a = \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $b = \sqrt[5]{3}$ ， $c = {0.3}^{\sqrt{5}}$ 则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a \leq b < c$ C、 $a < c \leq b$ D、 $c < a < b$

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4. 函数 $y = \log_{a} (x + 1) + 3$ 的图象恒过定点M，则M的坐标为（）

A、（-1，3） B、（0，3） C、（3，-1） D、（3，0）

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5. 若函数 $f (x) = 2^{x} + x - 7$ 的零点所在的区间为 $(k ， k + 1) (k \in Z)$ ，则k=（）

A、3 B、4 C、1 D、2

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6. 若函数 $f (x - 1) = x^{2} + 5$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、9 B、6 C、4 D、3

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7. 点 $P (2 m, m^{2})$ 到直线 $x + y + 7 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 已知l，m是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，且 $l / / α$ ， $m ⊥ β$ ，现有下列命题：①若 $α / / β$ ，则 $m ⊥ α$ ；②若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ ；③若 $l ⊥ m$ ，则 $l / / β$ ④若 $m / / α$ ，则 $α ⊥ β$ .
其中正确的命题个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10. 把边长为 $4$ 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，当直线 $B D$ 和平面 $A B C$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时，三棱锥 $D - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(2 a - 6 ， a)$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， a)$ 上单调递减，则不等式 $f (3 x - 1) ⩾ f (1 - 4 x)$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{2}{7}]$ B、 $[\frac{2}{7} ， \frac{3}{4})$ C、 $[- \frac{1}{4} ， \frac{2}{7})$ D、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{2}{7}]$

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12. 棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥 $E - B C D$ 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 $E - B C D$ 的表面积为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{4} a^{2}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6} a^{2}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{6} a^{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{4} a^{2}$

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二、填空题

13. 已知直线AB的斜率为1，则直线AB的倾斜角为.

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14. 若幂函数 $f (x) = (\frac{a^{2}}{2} - 1) x^{a}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $a =$ .

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15. 已知集合 $A = {2, 4, a^{2} - 4 a + 6}$ , $B = {2, a}$ , $A \cap B = B$ ,则实数a的取值的集合为.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x + 1} - 1, x \leq 0 \\ f (x - 1) - f (x - 2), x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2020) =$ .

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三、解答题

17. 在四面体ABCD中， $Δ A B C$ 与 $Δ D B C$ 都是边长为8的正三角形，点O是线段BC的中点.

(1)、证明： $B C ⊥ A D$ .

(2)、若 $∠ A O D$ 为锐角，且四面体ABCD的体积为 $32 \sqrt{3}$ 求侧面ACD的面积.

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18. 计算或化简：

(1)、 ${(3 \frac{1}{16})}^{\frac{1}{2}} + {0.1}^{- 2} + {(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}} - π^{0} - \log_{4} 32$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt{27} - \log_{3} 2 \cdot \log_{2} 3 - 6^{\log_{6} 3} - \lg \sqrt{2} - \lg \sqrt{5}$ .

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19. 直线 $l_{1}$ ： $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 与坐标轴的交点为 $A$ ， $B$ ，以线段 $A B$ 为直径的圆 $C$ 经过点 $D (3, 1)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ ： $3 x + 4 y + 3 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ .

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20. 已知 $f (x) = a x + \frac{1}{x} + b$ 是定义在 ${x \in R | x \neq 0}$ 上的奇函数，且 $f (1) = 5$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 上的单调性，并用定义加以证明.

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21. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + x + 1$ ,且 $f (x) - f (x - 1) = 4 x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式;

(2)、若 $g (x) = f (x) - m x$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值为-1,求 $m$ 的值以及 $g (x)$ 的最小值.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D = \sqrt{17}$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点，点 $F$ 在 $P D$ 上， $E F ⊥$ 平面 $P C D$ ， $M$ 在 $D C$ 的延长线上，且 $M C = \frac{2}{15} C D$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P B M$ .

(2)、过点 $C$ 作 $B D$ 的平行线，与直线 $A B$ 相交于点 $G$ ，点 $Q$ 为 $C G$ 的中点，求 $E$ 到平面 $P D Q$ 的距离.

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