广西桂林市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x > 2}$ ，则（）

A、 $3 \notin A$ B、 $\sqrt{5} \in A$ C、 $2 \in A$ D、 $0 \in A$

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2. 如图在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，下列直线与 $A A_{1}$ 成异面直线的是（）

A、 $B B_{1}$ B、 $C C_{1}$ C、 $B_{1} C_{1}$ D、 $A B$

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ 的定义域为（）

A、 $A = {x | x > 1}$ B、 $A = {x | x < 1}$ C、 $A = {x | x \neq 1}$ D、 $A = {x | x = 1}$

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4. 过两点 $A (4, y)$ ， $B (2, - 3)$ 的直线的倾斜角为 $45 °$ ，则 $y =$ （）．

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、-1 D、1

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5. 下列图象中，可以表示函数 $y = f (x)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $f (x) = x^{3}$ 的图象（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于直线 $y = x$ 对称 D、关于原点对称

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7. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 方程 $\ln x + 2 x - 6 = 0$ 的实数根所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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9. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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10. 为了得到函数 $y = \lg \frac{x - 2}{10}$ 的图象，只需把函数 $y = \lg x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 C、向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D、向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度

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11. 若 $m 、 n$ 表示空间中两条不重合的直线， $α 、 β$ 表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / n, n \subset α$ ，则 $m / / α$ B、若 $m \subset α, n \subset β, α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$

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12. 设函数 $f (x) = \ln (1 + | x |) - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，则使 $f (x) > f (2 x - 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

13. $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x, x \geq 0 \\ - x, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 直线 $x - y - 1 = 0$ 与 $x - y + 1 = 0$ 之间的距离是

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15. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 $•$ 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 $a^{b} = N$ $\Leftrightarrow$ $b = {log}_{a} N$ .
现在已知 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 4$ ，则 $a b =$ .

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16. 半径为4的球的球面上有四点A ， B ， C ， D ，已知 $Δ A B C$ 为等边三角形且其面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为．

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三、解答题

17. 设直线 $4 x + 3 y = 10$ 与 $2 x - y = 10$ 相交于一点 $A$ .

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、求经过点 $A$ ，且垂直于直线 $3 x - 2 y + 4 = 0$ 的直线的方程.

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18. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x {2 m < x < 1 - m}$ ，

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{x - 1} (x \in [2, 6])$ ， $f (3) = 1$ .

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 的单调性，并求出其最大值和最小值.

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B B_{1}$ 上，且 $B_{1} D ⊥ A_{1} F$ ， $A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ ，求证：

(1)、直线 $D E //$ 平面 $A_{1} C_{1} F$ ；

(2)、平面 $B_{1} D E ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} F$ .

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21. 攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y（y值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x（单位：克）的关系为：当0≤x＜7时，y是x的二次函数；当x≥7时， $y = {(\frac{1}{3})}^{x - m}$ ．测得部分数据如表：

(1)、求y关于x的函数关系式y＝f（x）；

(2)、求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．

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22. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} - x^{2} - \frac{4}{3} a (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{4^{x} + 1}{2^{x}} - x^{2}$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有且只有一个实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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