广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 1 < x < 5} ， B = {x | - 2 ⩽ x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ D、 $\{x | - 2 \leq x < 5\}$

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2. 若 $\sin θ = \frac{1}{4}$ ，则 $\cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{15}{16}$ B、 $\frac{15}{16}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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3. 函数 $f (x) = x^{3} - 9$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (m, - 6)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, 3)$ ，若 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} | =$ （）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、9 D、10

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5. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则函数 $f (x) = x^{2} - 2 x \log_{2} a$ 和 $g (x) = a^{x}$ 在同一个平面直角坐标系的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且 $2 l = 12 - r$ ，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或2 C、1 D、 $\frac{1}{4}$ 或1

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7. 为了得到函数 $y = \sin 3 x$ 的图象，只需把函数 $y = \sin (3 x - \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 3 - 2 x$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) \cup (0 ， \frac{3}{2})$ B、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{3}{2} ， 0) \cup (\frac{3}{2} ， + \infty)$

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9. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (3, \frac{15}{2})$ ， $\overset{⇀}{b} = (x, \frac{2}{3})$ ，若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）

A、 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、 $(\frac{4}{15}, + \infty)$ C、 $(- \frac{5}{3}, \frac{4}{15}) \cup (\frac{4}{15}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{4}{15}) \cup (\frac{5}{3}, + \infty)$

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10. 已知 $a = {(\frac{1}{8})}^{- 0 ， 4} ， b = {(\frac{1}{2})}^{- 1.3} ， c = \log_{3} 8$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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11. 知函数 $f (x) = \frac{2 \sin x - 3}{\sin x - 2}$ ，则 $f (x)$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x < 2 ， \\ f (x - 2) ， x ⩾ 2 ， \end{array}$ $g (x) = 3 - \frac{1}{2} x$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的解的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 1 |, x < 0, \\ 3^{x}, x ⩾ 0, \end{array}$ 则 $f (f (\log_{2} \frac{1}{8})) =$ .

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14. 若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = - \frac{1}{3}$ ，则 $\tan (α + β) =$ .

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15. 在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，满足 $\overset{⇀}{B E} = 4 \overset{⇀}{E A}$ ，连接DE交AC于点M，若 $\overset{⇀}{D M} = λ \overset{⇀}{A C} - \overset{⇀}{A D}$ ，则 $λ =$ .

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16. 函数 $f (x) = - 9^{- x} + {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + \frac{3}{4}$ 在 $[- 1, + \infty)$ 上的值域为.

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三、解答题

17. 已知角α的终边上有一点 $P (- \sqrt{3}, 3)$ .

(1)、求与角α终边相同的角的集合；

(2)、求 $\frac{\sin (π + α) + \sin (\frac{3 π}{2} + α)}{\cos (- π - α) - \cos (- \frac{π}{2} - α)}$ 的值.

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18.

(1)、计算： ${(- 1)}^{0} - {(\frac{1}{9})}^{- 0.5} + \log_{4} 2 + 10^{1 - \lg 2}$ ；

(2)、已知集合 $A = {x | \frac{1}{3} < 3^{x} < 9}$ ， $B = {x | a - 1 < x < 2 a + 1}$ ，且 $B \subseteq A$ ，求a的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} + b \ln x$ ，且 $f (1) = 2$ ， $f (2) = 4 + \ln 2$ .

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, 4]$ 上的值域.

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20. 已知函数 $f (x) = \cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的图象的最高点和最低点分别为A，B，O为坐标原点， $M (- π ， 0)$ ，求 $(\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}) \cdot \overset{⇀}{M B}$ 的值.

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21. 电子芯片是“中国智造”的灵魂，是所有整机设备的“心脏”.某国产电子芯片公司，通过大数据分析，得到如下规律：生产一种高端芯片x（ $0 ⩽ x ⩽ 10$ ）万片，其总成本为 $G (x)$ ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万片的生产成本为200万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 $F (x)$ （单位：万元）满足 $F (x) = {\begin{array}{l} - 400 x^{2} + 4200 x, 0 ⩽ x ⩽ 6, \\ 800 x - 1000, 6 < x ⩽ 10. \end{array}$ 假定生产的芯片都能卖掉.

(1)、将利润 $f (x)$ （单位：万元）表示为产量x（单位：万片）的函数；

(2)、当产量x（单位：万片）为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？

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22. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos \frac{π}{3} + \cos 2 x \sin \frac{π}{3}$ .

(1)、若对任意 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，都有 $f (x - \frac{π}{4}) ⩾ m$ 成立，求实数m的取值范围；

(2)、设函数 $g (x) = 2 f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[- π ， 3 π]$ 内的所有零点之和.

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