广西崇左市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 x > 3}, B = {x | 2^{x} < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 3)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(1, 2)$

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2. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ B、 $f (x) = 2^{2 x}$ C、 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ D、 $f (x) = \frac{2}{x}$

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3. 已知过点 $A (m, - 1)$ 和 $B (2, m)$ 的直线与直线 $x - y - 1 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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4. 已知圆锥的高为 $\sqrt{2}$ ，底面半径为 $\sqrt{2}$ ，则此圆锥的侧面展开图的面积是（）

A、 $\sqrt{2} π$ B、 $4 π$ C、 $2 \sqrt{2} π$ D、 $2 π$

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5. 已知直线 $y = k x + 2$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $k =$ （）

A、±1 B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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6. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 8)$ ，则 $\log_{4} f (\frac{1}{2})$ 的值为（）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、-2

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7. 已知直线 $l_{1} : 2 x + y + n = 0$ ， $l_{2} : 4 x + m y - 4 = 0$ 互相平行，且 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ ，则 $m + n =$ （）

A、-3或3 B、-2或4 C、-1或5 D、-2或2

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8. 函数 $f (x) = 4 x + \ln x - 15$ 的零点 $x_{0} \in (k, k + 1), k \in Z$ ，则整数 $k$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 过直线 $l$ 外两点作与 $l$ 平行的平面，则这样的平面（）

A、不存在 B、只能作一个 C、能作无数个 D、以上都有可能

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10. 若函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $[a, 2 a^{2}]$ 上的最大值比最小值多2，则 $a =$ （）

A、2或 $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ B、3或 $\frac{1}{3}$ C、4或 $\frac{1}{2}$ D、2或 $\frac{1}{2}$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面ABCD为正方形，且 $P A = 2 A B = 4$ ， $M$ 为 $P C$ 上一动点，若 $P C ⊥ D M$ ，则 $M B$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

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12. 若函数 $f (x) = \log_{a} x - x + a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若圆的一条直径的两个端点是 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ ，则圆的标准方程为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} + 2, x < 1 \\ x^{2} - a x + 1, x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (f (0)) = 2 a$ ，则实数 $a =$ .

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15. 已知奇函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递减，则满足 $f (3 x - 1) + f (\frac{1}{2}) \geq f (0)$ 的 $x$ 的取值范围是.

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16. 已知正四棱锥 $O - A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，底面边长为2，则正四棱锥 $O - A B C D$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 根据下列各条件写出直线方程，并化为一般式.

(1)、斜率是 $- \frac{1}{2}$ ，经过点 $(2, 0)$ ；

(2)、经过点 $(1, 1)$ ，与直线 $x + y - 1 = 0$ 垂直；

(3)、在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距分别为-2和2.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 4$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求三棱锥 $E - P B C$ 的体积.

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19. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 2^{x}$ （ $a$ 为常数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $a > 0$ ，试证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(3)、若函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，求实数 $a$ 的值.

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $P$ 是 $D D_{1}$ 的中点，设 $Q$ 是 $C C_{1}$ 上的点.

(1)、当 $Q$ 在什么位置时，平面 $D_{1} B Q ∥$ 平面 $P A O$ ？

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 2$ ，求点 $C$ 到平面 $B D_{1} Q$ 的距离.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{5} (3 a x + b)$ ，其中 $a, b$ 为常数，且 $f (40) = 3, f (0) = 1$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、若对于任意 $x \in [- 1, + \infty)$ ，不等式 $5^{x} > m - f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 4 ， 3)$ ，点 $B (8 ， 0)$ ， $C$ 、 $D$ 分别为线段 $O A$ 、 $O B$ 上的动点，且满足 $A C = B D$ .

(1)、若 $| B D | = 3$ ，求点 $C$ 的坐标；

(2)、设点 $C$ 的坐标为 $(- 4 m ， 3 m) (0 < m \leq 1)$ ，求 $△ O C D$ 的外接圆的一般方程，并求 $△ O C D$ 的外接圆所过定点的坐标.

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