广西北海市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $A = {0, 1, 2, 4, 5, 7}$ ， $B = {1, 3, 5, 8, 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 5}$ B、{1} C、{5} D、 ${1, 5, 7}$

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2. 下列哪组中的两个函数是同一函数（）

A、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ B、 $f (x) = x^{2}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ C、 $f (x) = x^{2}, g (x) = \sqrt[3]{x^{6}}$ D、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$

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3. 下列图形是函数 $y = {\begin{array}{l} x^{2} ， x < 0 ， \\ x - 1 ， x \geq 0. \end{array} ，$ 的图象的是(　　)

A、 B、 C、 D、

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4. 下列命题中正确的是（）

A、若 $a, b$ 是两条直线,且 $a ∥ b$ ,那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何平面 B、若直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a ∥ α$ ,那么 $a$ 与 $α$ 内的任何直线平行 C、平行于同一条直线的两个平面平行 D、若直线 $a, b$ 和平面 $α$ 满足 $a ∥ b, a ∥ α, b$ 不在平面 $α$ 内，则 $b ∥ α$

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5. 函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x}$ 的零点位于区间（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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6. 函数y＝ $\frac{1}{x - 1}$ 在[2，3]上的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、－ $\frac{1}{2}$

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7. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 对数函数 $y = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）与二次函数 $y = (a - 1) x^{2} - x$ 在同一坐标系内的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x - 4 a, x < 1 \\ \log_{a} x, x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{4})$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(1, + \infty)$

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10. 如图所示，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，则三棱锥 $B_{1} - A B C_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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11. ⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA $⊥$ 平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是（）

A、4 $\sqrt{5}$ B、3 $\sqrt{5}$ C、2 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB ，三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）

A、 $\frac{27}{2} π$ B、 $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ π C、27 $\sqrt{3} π$ D、27π

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二、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{2 x + 1} + \log_{2} (3 - 4 x)$ 的定义域为.

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14. 已知正四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 的面积为 $16$ ，一条侧棱的长为 $2 \sqrt{11}$ ，则该棱锥的高为.

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + b x + c ， x \leq 0 \\ 2 ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (－ 4) ＝ 2 ， f (－ 2) ＝－ 2$ ，则关于 $x$ 的方程 $f (x) ＝ x$ 的解的个数是．

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16. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为2， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $D$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $F$ 是 $B B_{1}$ 上的动点， $A B_{1}$ ， $D F$ 交于点 $E$ .要使 $A B_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} D F$ ，则线段 $B_{1} F$ 的长为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 3 \leq 3^{x} \leq 27}$ ， $B = {x | \log_{2} x > 1}$ .
（Ⅰ）分别求 $A \cap B, (∁_{R} B) \cup A$ ；

（Ⅱ）已知集合 $C = {x | a < x < a + 1}$ ，若 $A \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (x) = \frac{a x + b}{x + 2} (x \neq - 2)$ ， $f (1) = \frac{1}{3}$ ， $f (0) = 0$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ 、 $b$ 的值，并确定 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）试用定义证明 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 2)$ 内单调递增.

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19. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 $v$ （单位：千克/年）是养殖密度 $x$ （单位：尾/立方米）的函数.当 $0 < x \leq 4$ 时， $v$ 的值为2千克/年；当 $4 < x \leq 20$ 时， $v$ 是 $x$ 的一次函数；当 $x > 20$ 时，因缺氧等原因， $v$ 的值为0千克/年.

(1)、当 $0 < x \leq 20$ 时，求 $v$ 关于 $x$ 的函数表达式.

(2)、当养殖密度 $x$ 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A D$ ， $E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点.

求证：

(1)、 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ；

(2)、 $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(3)、平面 $B E F ⊥$ 平面 $P C D$ .

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $P D C$ ， $A D / / B C$ ， $P D ⊥ P B$ ， $A D = 1$ ， $C D = 4$ ， $P D = 2$ .

（Ⅰ）求异面直线 $A P$ 与 $B C$ 所成角的正弦值；

（Ⅱ）若三棱锥 $P - C D B$ 体积为2，求 $B C$ 的长.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1 - a x}{x - 1}$ 的图象关于原点对称，其中a为常数.

(1)、求a的值；

(2)、当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) + \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) < m$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若关于x的方程 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x + k)$ 在 $[2 ， 3]$ 上有解，求k的取值范围.

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