浙江省丽水市五校共同体2020-2021学年高二上学期数学10月阶段性考试试卷

试卷更新日期：2020-11-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“若 $x < 1$ ，则 $x^{2} < 2$ ”的逆否命题是（）

A、“若 $x < 1$ ，则 $x^{2} > 2$ ” B、“若 $x \geq 1$ ，则 $x^{2} \geq 2$ ” C、“若 $x^{2} \geq 2$ ，则 $x \geq 1$ ” D、“若 $x^{2} < 2$ ，则 $x < 1$ ”

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2. 过点 $P (- 2, 1)$ 且倾斜角为90°的直线方程为（）

A、 $y = 1$ B、 $x = - 2$ C、 $y = - 2$ D、 $x = 1$

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3. 已知命题 $p :$ “ $x < 2$ ”，命题 $q :$ “ $\lg x < \lg 2$ ”，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 3 \leq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ x \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、-2 C、 $- \frac{13}{2}$ D、5

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5. 已知直线 $(2 a + 1) x + a y - 2 = 0$ 在两坐标轴上的截距相等，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、1 C、 $- \frac{1}{3}$ 或 $- 1$ D、-1

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6. 已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ （x≠0） B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ （x≠0） C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ （x≠0） D、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ （x≠0）

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $l_{1}$ ： $(a - 1) x + y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + 2 b y + 1 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、8 D、9

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8. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 m y - 4 - 4 m = 0 (m \in R)$ ，则当圆 $C$ 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、6 C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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9. 由直线 $y = x + 1$ 上的点向圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，则切线长的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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10. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - a^{2})}^{2} = a^{4}$ 的圆心到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ 的位置关系是（）

A、相交 B、内切 C、外切 D、相离

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以 $\frac{\sqrt{2}}{2} c$ 为半径的圆内切于 $△ P F_{1} F_{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{3}]$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, 1)$

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12. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $D$ ､ $E$ 两点， $| D F_{1} | = 5 | F_{1} E |$ ， $| D F_{2} | = \sqrt{2}$ ，且 $D F_{2} ⊥ x$ 轴.若点 $P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， 5]$ B、 $[2 ， 5]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[3 ， 4]$

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二、双空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的半焦距是，离心率是.

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14. 已知 $A (\sqrt{3} ， 0)$ ， $B (2 ， 1)$ ，直线 $l$ 过点 $P (0 ， - 1)$ ，若直线 $l$ 与线段 $A B$ 总有公共点，则直线 $l$ 的斜率取值范围是，倾斜角 $α$ 的取值范围是.

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15. 直线 $y = x + b$ 被圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 截得的弦长的最大值是；若该圆上到此直线 $y = x + b$ 的距离等于1的点有且仅有4个，则 $b$ 的取值范围是.

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三、填空题

16. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 y - 3 ⩾ 0 \\ 2 x - y - 3 ⩽ 0 \\ x - m y + 3 ⩾ 0 \end{array}$ ，若 $z = x - y$ 的最小值为-2，则实数 $m =$ .

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17. 若曲线 $C_{1} : y = 2 + \sqrt{- x^{2} - 2 x}$ 与曲线 $C_{2} : (y - 2) (y - k x + k) = 0$ 有四个不同的交点,则实数 $k$ 的取值范围是.

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18. 一条光线从点 $(2, - 3)$ 射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在的直线方程为.

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，上顶点为 $A$ ，左顶点为 $B$ ，左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $Δ F_{1} A B$ 的面积为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上的任意一点，则 $\frac{1}{| P F_{1} |} + \frac{1}{| P F_{2} |}$ 的取值范围是.

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四、解答题

20. 已知直线 $l_{1} : a x + y + a + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 x + (a - 1) y + 3 = 0$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标；

(2)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求a的值.

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21. 已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ .

(1)、若直线 $l$ 过点 $A (2, 3)$ 且被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于长轴的弦长为 $3$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，若以 $A B$ 为直径的椭圆经过右焦点 $F_{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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23. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右焦点， $M$ 为 $C$ 上任意一点， $S_{Δ M F_{1} F_{2}}$ 的最大值为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、不过点 $F_{2}$ 的直线 $l ： y = k x + m (m \neq 0)$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点.
（i）若 $k^{2} = \frac{1}{2}$ ，且 $S_{Δ A O B} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $m$ 的值；

（ii）若 $x$ 轴上任意一点到直线 $A F_{2}$ 与 $B F_{2}$ 的距离相等，求证：直线 $l$ 过定点，并求出该定点的坐标.

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