广东省深圳市2020-2021学年高二上学期数学调研试卷

试卷更新日期：2020-11-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x < 4}$ ，集合 $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 4}$ B、 ${x | 0 \leq x < 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 0}$ D、 ${x | 1 \leq x < 4}$

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2. 函数 $f (x) = \log_{2} (x - 3)$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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3. 在 $Δ A B C$ 中，若 $∠ A ＝ 60 ° ， ∠ B ＝ 45 °$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A C ＝$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（）

A、2600 B、2580 C、2540 D、2500

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5. 甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则（）

A、甲得分的均值高于乙得分的均值 B、甲得分的均值低于乙得分的均值 C、甲得分的方差高于乙得分的方差 D、甲得分的方差低于乙得分的方差

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6. 已知 $a = 3^{0.4}, b = {0.4}^{3}, c = \log_{0.4} 3$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、3π B、6π C、7π D、8π

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： m x + y + 1 = 0$ ， $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线l恒过定点 $(0 ， 1)$ B、当 $m = 0$ 时，直线l的斜率不存在 C、当 $m = 1$ 时，直线l的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ D、当 $m = 2$ 时，直线l与直线 $A B$ 垂直

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10. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{π}{12}] (k \in Z)$

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11. emoji（中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji表情已经风靡全球，大有“无emoji，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线 $x^{2} + y^{2} = 1$ 勾勒脸庞，用曲线 $y = \pm \frac{1}{6} \sqrt{1 - 16 {(x + \frac{1}{2})}^{2}} + \frac{1}{2}$ ， $y = \pm \frac{1}{6} \sqrt{1 - 16 {(x - \frac{1}{2})}^{2}} + \frac{1}{2}$ 近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（）

A、 $y = x^{2} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4})$ B、 $y = - \frac{\sqrt{1 + 2 x - 8 x^{2}} + 1}{6} (- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4})$ C、 $y = \cos (\frac{π}{2} x) - \frac{4}{3} (- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4})$ D、 $y = - \cos (\frac{π}{2} x) + \frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4})$

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12. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 所有棱长均为4，点M是侧棱 $P C$ 上的一个动点（不与点 $P ， C$ 重合），若过点M且垂直于 $P C$ 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）

A、截面的形状可能为三角形、四边形、五边形 B、截面和底面 $A B C D$ 所成的锐二面角为 $\frac{π}{4}$ C、当 $P M = 1$ 时，截面的面积为 $5 \sqrt{2}$ D、当 $P M = 2$ 时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为 $V_{1} ， V_{2} (V_{1} > V_{2})$ ，则 $V_{1} = 3 V_{2}$

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知某设备的使用年限x（年）与维护费用y（万元）之间有如下数据，且x与y之间具有线性相关关系，由下表的统计数据，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，则数据 $t =$ ．

使用年限x（年）

3

4

5

6

维护费用y（万元）

2.5

t

4

4.5

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15. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且满足 $f (x) = f (3 - x)$ ，若当 $x \in [0, \frac{3}{2}]$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f (2020) =$ ．

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16. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y = k | x | + 2$ ，曲线 $C_{2}$ 的方程为 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ ，若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且仅有三个公共点，则实数k的值为．

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四、解答题

17. 已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\cos (2 α + \frac{π}{2})}{\sin^{2} α - \cos 2 α}$ 的值．

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18. 某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组： $[50 ， 100) ， [100 ， 150) ， [150 ， 200) ， [200 ， 250)$ ， $[250 ， 300) ， [300 ， 350)$ ， $[350 ， 400) ， [400 ， 450) ， [450 ， 500)$ ，并绘制成如下的频率分布直方图．

(1)、求a的值；

(2)、请估计这100户居民家庭月均用电量的中位数；

(3)、若从样本中月均用电量在 $[400 ， 500)$ 的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，求恰有1户居民家庭的月均用电量在 $[400 ， 500)$ 的概率．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A C = A A_{1}$ ， $∠ B A C = 90^{°}$ ，D是 $B C$ 中点，求证：

(1)、 $A_{1} B / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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21. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，点P在直线 $y = - 3$ 上运动．

(1)、若点P的横坐标为 $- 1$ ，且过点P的直线l被圆O截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程；

(2)、若直线 $P A$ ， $P B$ 与圆O相切，且A，B为切点，证明：直线 $A B$ 恒过定点，并求出定点坐标．

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22. 已知定义在R上的函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + 3$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数． $g (x)$ 为偶函数，且当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $g (x) = \frac{1}{2^{x + m}}$ ．

(1)、求 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的值域相同，求实数m的值；

(3)、令 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x), x < 0, \\ g (x), x > 0, \end{array}$ 讨论关于x的方程 $F (x) = m + 3$ 的实数根的个数．

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使用年限x（年）	3	4	5	6
维护费用y（万元）	2.5	t	4	4.5