广东省深圳市2020-2021学年高二上学期数学调研备考试卷

试卷更新日期：2020-11-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x - 1,$ $g (u) = 2 u - 1$ B、 $y = x^{0},$ $y = 1$ C、 $y = x^{2},$ $y = x \sqrt{x^{2}}$ D、 $y = x - 1,$ $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$

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2. 函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x - 7$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, 2)$

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3. 已知 $a = \log_{3} 0.8$ ， $b = 3^{0.8}$ ， $c = {0.3}^{2.1}$ ，则（）

A、 $a < a b < c$ B、 $a c < b < c$ C、 $a b < a < c$ D、 $c < a c < b$

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} | = \sqrt{2} | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 圆锥和圆柱的底面半径､高都是 $R$ ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（）

A、 $(\sqrt{2} + 1) : 4$ B、 $\sqrt{2} : 2$ C、 $1 : 2$ D、 $(\sqrt{2} + 1) : 2$

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6. 当点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上变动时，它与定点 $Q (- 3, 0)$ 的连线 $P Q$ 的中点的轨迹方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(2 x - 3)}^{2} + 4 y^{2} = 1$ D、 ${(2 x + 3)}^{2} + 4 y^{2} = 1$

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7. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的动点，则 $D_{1} E + C E$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，若 $x \in (0, + \infty)$ 时，不等式 $f (\sqrt{x^{2} + 1}) + f (- m x) ⩽ 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{a}$ 为单位向量 B、 $\overset{⇀}{b}$ 为单位向量 C、 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ D、 $(4 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{B C}$

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10. 下列说法中，正确的命题是（）

A、函数 $f (x) = | \sin x |$ 的最小正周期为 $2 π$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.1 x + 2$ ，则 $c ， k$ 的值分别为 $e^{2} ， 0.1$ C、已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为 $\hat{y} = a + b \hat{x}$ ，若 $b = \frac{1}{2} ， \bar{x} = 1 ， \bar{y} = 3 ，$ 则 $a = \frac{5}{2}$ D、函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x - \frac{π}{6}) ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$

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11. 将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象，若 $1 \pm s i n 2 α ＝ {(s i n α \pm c o s α)}^{2}$ ，且 $x_{1}, x_{2} \in [- 2 π, 2 π]$ ，则 $2 x_{1} - x_{2}$ 的可能取值（）

A、 $- \frac{59 π}{12}$ B、 $- \frac{35 π}{6}$ C、 $\frac{25 π}{6}$ D、 $\frac{49 π}{12}$

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12. （多选题）如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = \frac{2}{3} A B = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ，点D，E分别是线段BC， $B_{1} C$ 上的动点（不含端点），且 $\frac{E C}{B_{1} C} = \frac{D C}{B C}$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $E D / /$ 平面 $A C C_{1}$ B、该三棱柱的外接球的表面积为 $68 π$ C、异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{2}$ D、二面角 $A - E C - D$ 的余弦值为 $\frac{4}{13}$

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三、填空题

13. $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $\sin α \cos α = - \frac{2}{5}$ ，则 $\tan α =$ .

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14. 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 $[0.3 ， 0.9]$ 内，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）直方图中的 $a =$ ；

（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间 $[0.5 ， 0.9]$ 内的购物者的人数为．

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15. 已知 $P$ 为直线 $l : x + 3 y - 12 = 0$ 上一点，过 $P$ 作圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，则切线长最短时的切线方程为．

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16. 如图，设△ $A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\sqrt{3} (a \cos C + c \cos A) = 2 b \sin B$ ，且

$∠ C A B = \frac{π}{3}$ .若点 $D$ 是△ $A B C$ 外一点， $D C = 1$ ， $D A = 3$ ，则四边形 $A B C D$ 面积的最大值为.

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四、解答题

17. 在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评.如表是被抽检到的5所学校

A

、

B

、

C

、

D

、

E

的教师和学生的测评成绩（单位：分）：

学校	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
教师测评成绩 $x$	90	92	93	94	96
学生测评成绩 $y$	87	89	89	92	93

附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、建立

y

关于

x

的回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、现从

A

、

B

、

C

、

D

、

E

这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，求

A

、

B

两所学校至少有1所被选到的概率

P

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18. 设函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) + sin (ω x - \frac{π}{2})$ ，其中 $0 < ω < 3$ .已知 $f (\frac{π}{6}) = 0$ .
（Ⅰ）求 $ω$ ；

（Ⅱ）将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值.

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19. 已知几何体 $A B C D E F$ 中， $A B / / C D ， F C / / E A ， A D ⊥ A B ， A E ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A B = A D = E A = 2 ， C D = C F = 4$ ．

(1)、求证：平面 $B D F ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $E C D$ 的距离．

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20. 已知实数 $a > 0$ ，定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{a}{e^{x}}$ 是偶函数，其中 $e$ 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数 $a$ 值；

（Ⅱ）判断该函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性并用定义证明；

（Ⅲ）是否存在实数 $m$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t - 2) < f (2 t - m)$ 恒成立．若存在，求出实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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