浙江省宁波市普通高中2020年保送生模拟测试数学试卷

试卷更新日期：2020-11-11 类型：中考模拟

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一、选择题（每题5分，共25分．）

1. 已知非零实数a、b、c满足ab＝ $\frac{1}{3}$ (a＋b) ，bc＝ $\frac{1}{4}$ (b＋c) ，ca＝ $\frac{1}{5}$ (c＋a) ，则 $\frac{b}{a - c}$ ＝（）

A、1 B、3 C、4 D、6

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2. Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，点D为AC上一点，且AD︰CD＝1︰4，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接AE，则tan∠AEB的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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3.
如图，点A在线段BD上，在 BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•MA；③2CB²=CP•CM.其中正确的是（ )

A、①②③ B、① C、①② D、②③

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4. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．若⊙M与线段EN只有一个公共点，则t的取值范围为（）

A、0＜t≤ $\frac{22}{7}$ 或 $\frac{32}{9}$ ＜t＜6 B、0＜t≤ $\frac{32}{9}$ 或 $\frac{40}{9}$ ＜t＜8 C、0＜t≤ $\frac{29}{7}$ 或 $\frac{32}{9}$ ＜t＜6 D、0＜t≤ $\frac{29}{7}$ 或 $\frac{40}{9}$ ＜t＜8

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5. 设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x²y²＝4，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、3 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题 (每题5分，共20分)

6. 若 $\frac{x - 3}{x - 2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}$ ，则 (1－ $\frac{1}{x - 2}$ )÷(x－4＋ $\frac{1}{x - 2}$ ) 的值为．

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7. 如图，4张卡片A、B、C、D的正面分别画有4个不同的图形(背面相同) ，将这4张卡片洗均匀后倒扣在桌面上，小王和小李轮流从中抽出1张卡片(放回) ．若两人抽出的卡片不同，但两张卡片上的图形是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点” ．已知⊙P的半径为2，圆心为P(0，t) ，在函数y＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x(x＞0) 的图象上存在点M，⊙P上存在点N，满足点N是点M的“等距点” ，则t的取值范围为．

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9. 设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x²－8cx－9d＝0的解，c、d是方程x²－8ax－9b＝0的解，则a＋b＋c＋d的值为．

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三、解答题（每題15分，共30分）

10. 如图，△ABC中，AL是角平分线，AC＝8，AB＝13，BC＝12．过点B、C分别作△ABC外接圆的切线BD、CE，且BD＝CE＝BC，直线DE与AB、AC的延长线交于点F、G，连接CF交BD于点M，连接BG交CE于点N，分别连接LM、LN．

(1)、求线段FD的长；

(2)、求证：∠ALM＝∠ALN．

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11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $0 < 2 a < b$ ）的顶点为 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，点 $A (1 ， y_{A})$ 、 $B (0 ， y_{B})$ 、 $C (- 1 ， y_{C})$ 在该抛物线上．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 6$ ， $c = 15$ 时，①求顶点 $P$ 的坐标；②求 $\frac{y_{A}}{y_{B} - y_{C}}$ 的值．

(2)、当 $y_{0} \geq 0$ 恒成立时，求 $\frac{y_{A}}{y_{B} - y_{C}}$ 的最小值．

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