北京市燕山区2019-2020学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $3 x - x = 2$ B、 $a^{3} \div a^{4} = 1 a$ C、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - x - 1$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$

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3. 能用平方差公式分解因式的多项式是（）

A、 $x^{2} - 2 x + 1$ B、 $x^{2} + 9$ C、 $a x - a y$ D、 $- x^{2} + 4$

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4. 太阳光照射到地球上需要的时间约是 $5 \times 10^{2} s$ ,光的速度约是 $3 \times 10^{5} k m / s$ ,那么太阳到地球的距离用科学记数法表示约为（）

A、 $15 \times 10^{7}$ B、 $1.5 \times 10^{7}$ C、 $1.5 \times 10^{8}$ D、 $15 \times 10^{10}$

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5. 已知， $Δ A B C ≅ Δ D E F$ ，且 $Δ A B C$ 的周长为20， $A B = 8$ ， $B C = 3$ ，则 $D F$ 等于（）

A、3 B、5 C、9 D、11

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6. 已知 $E F$ 是 $Δ E B C$ 的角平分线， $F D ⊥ E B$ 于 $D$ ，且 $F D = 3 c m$ ，则点 $F$ 到 $E C$ 的距离是（）

A、2 $c m$ B、3 $c m$ C、4 $c m$ D、6 $c m$

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7.
如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a>0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）

A、（2a²+5a）cm² B、（3a+15）cm² C、（6a+9）cm² D、（6a+15）cm²

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8. 豆豆老师到学校距离是8千米，她开车上班的平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，已知豆豆老师自己开车上班比乘公交车上班所需的时间少用 $\frac{1}{4}$ 小时，若设乘公交车平均每小时走 $x$ 千米，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{8}{x} + 15 = \frac{8}{2.5 x}$ B、 $\frac{8}{x} = 15 + \frac{8}{2.5 x}$ C、 $\frac{8}{x} + \frac{1}{4} = \frac{8}{2.5 x}$ D、 $\frac{8}{x} = \frac{8}{2.5 x} + \frac{1}{4}$

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二、填空题

9. 要使分式 $\frac{x + 2}{x - 3}$ 值为0，则x的值是．

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10. 如图，根据图形，写出一个正方形 $A B C D$ 的面积的表达式．（一个即可）

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11. 化简 $\frac{x^{2}}{x - 1}$ + $\frac{x}{1 - x}$ 的结果为

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12. 一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是。

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13. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（添加一个即可）

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14. 已知 $4 x^{2} + k x y + 9 y^{2}$ 是一个完全平方式，则 $k$ 的值是．

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15. 下面一组按规律排列的数，2，4，8，16，32，……则第2020个数是．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中，按以下步骤作图：
①以 $B$ 为圆心，任意长为半径作弧，交 $A B$ 于 $D$ ，交 $B C$ 于 $E$ ；

②分别以 $D ， E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的同样长为半径作弧，两弧交于点 $M$ ；

③作射线 $B M$ 交 $A C$ 于 $N$ .

如果 $B N = N C$ ， $∠ A = 57^{\circ}$ ，那么 $∠ A B N$ 的度数为．

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三、解答题

17. 计算： $(12 a^{3} + 6 a^{2} - 3 a) \div 3 a$ ．

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18. 分解因式：

(1)、 $x^{3} - x$

(2)、 $3 x^{2} y - 6 x y + 3 y$

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19. 解方程： $\frac{x - 1}{x - 2} = 2 - \frac{1}{2 - x}$

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20. 已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2 ， ∠ C = ∠ D . 求证： A C = A D$

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21. 如图：在等边三角形 $A B C$ 中，点 $D ， E$ 分别是 $A B ， B C$ 延长线上的点，且 $B D = C E$ ．求证： $∠ B C D = ∠ C A E$ ．

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22. 如图1为 $L$ 形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成.请以 $L$ 形的三格骨牌为基本图形，在图2，图3中各设计一个轴对称图形，要求如下：

(1)、每个图形由两个 $L$ 形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上.

(2)、设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种.

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23. 阅读下列材料：
分解因式： $4 x - 16 x^{3}$

请根据上述材料回答下列问题：

(1)、小云的解题过程从步出现错误的，错误的原因是：.
小朵的解题过程从步出现错误的，错误的原因是.

小天的解题过程从步出现错误的，错误的原因是：.

(2)、若都错误，请你写出正确的解题过程.

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24. 已知 $∠ A O B = 30^{\circ}$ ，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的内部，点 $C$ 和点 $P$ 关于 $O A$ 对称，点 $P$ 关于 $O B$ 的对称点是 $D$ ，连接 $C D$ 交 $O A$ 于 $M$ ，交 $O B$ 于 $N$ ， $C D = 15$

(1)、补全图，并且保留作图痕迹.

(2)、写出 $∠ C O D =$ °. $Δ P M N$ 的周长为.

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25. 通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的符合题意性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 给予解释.图乙中的 $Δ A B C$ 是一个直角三角形， $∠ C = 90^{\circ}$ ，人们很早就发现直角三角形的三边 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的关系.图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为 $a$ ，较长直角边长为 $b$ ，求出 ${(a + b)}^{2}$ 的值.

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26. 先化简，再求值： $\frac{t^{2} - 1}{t^{2} - 2 t + 1} \div \frac{t + 1}{t - 1} \cdot \frac{t}{t + 1}$ ，其中 $t = 2019$ ．

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27. 阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究

小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．

小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

(1)、第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；

A、全等 B、不全等 C、不一定全等

(2)、第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°．过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M；同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于N，根据“ASA”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF．

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28. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.

(1)、下列分式中，是和谐分式(填写序号即可)；
① $\frac{a^{2} + b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$ ； ② $\frac{t - 2 b}{t^{2} - 4 b^{2}}$ ；③ $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ；④ $\frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 1}$

(2)、若a为整数，且 $\frac{y - 1}{y^{2} + a y + 4}$ 为和谐分式，请写出 $a$ 的值；

(3)、在化简 $\frac{4 m^{2}}{m n^{2} - n^{3}} - \frac{m}{n} \div \frac{n}{4}$ 时，
小冬和小奥分别进行了如下三步变形：

小冬：原式 $= \frac{4 m^{2}}{m n^{2} - n^{3}} - \frac{m}{n} \times \frac{4}{n} = \frac{4 m^{2}}{m n^{2} - n^{3}} - \frac{4 m}{n^{2}} = \frac{4 m^{2} n {}^{2}- 4 m (m n^{2} - n^{3})}{(m n^{2} - n^{3}) n^{2}}$

小奥：原式 $= \frac{4 m^{2}}{m n^{2} - n^{3}} - \frac{m}{n} \times \frac{4}{n} = \frac{4 m^{2}}{n^{2} (m - n)} - \frac{4 m}{n^{2}} = \frac{4 m^{2} - 4 m (m - n)}{n^{2} (m - n)}$

显然，小奥利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小冬的结果简单，原因是：，请你接着小奥的方法完成化简.

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29. 在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $∠ M D N$ 的两边分别与 $A B$ ， $A C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $D M = D N$ .

(1)、如图，若 $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $A C = 9$ ， $∠ M D N = 120^{\circ}$ ， $N D / / A B$ .
写出 $∠ M D A =$ °， $A B$ 的长是 .

(2)、求四边形 $A M D N$ 的周长.

(3)、如图，过 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ 于 $F$ ，作 $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，先补全图乙再证明 $A M + A N = 2 A F$ .

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