人教新课标A版选修2-3 2.3离散型随机变量的均值与方差

试卷更新日期：2020-11-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若随机变量X的分布列如下表，则 $E (X) =$ （）

X

0

1

2

3

4

5

P

2x

3x

7x

2x

3x

x

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{20}{9}$

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2. 随机变量X的取值范围为0，1，2，若 $P (X = 0) = \frac{1}{4}, E (X) = 1$ ，则D（X）＝（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 设服从二项分布 $B (n ， p)$ 的随机变量X的期望与方差分别是10和8，则 $n ， p$ 的值分别是（）

A、 $50 ， \frac{1}{5}$ B、 $60 ， \frac{1}{5}$ C、 $50 ， \frac{4}{5}$ D、 $60 ， \frac{4}{5}$

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4. 已知随机变量 $X ~ B (6, \frac{1}{2}), D (2 X + 1) =$ （）

A、9 B、6 C、4 D、3

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5. 若随机变量ξ的分布列：

ξ

1

2

4

P

0.4

0.3

0.3

那么E(5ξ+4)等于（）

A、15 B、11 C、2.2 D、2.3

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6. 已知随机变量X的分布列如下：

若随机变量Y满足 $Y = 3 X - 1$ ，则Y的方差 $D (Y) =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $9$

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7. 已知随机变量 $ξ$ 和 $η$ ，其中 $η = 12 ξ + 7$ ，且 $E η = 34$ ，若 $ξ$ 的分布列如下表，则m的值为（）

ξ

1

2

3

4

P

$\frac{1}{4}$

m

n

$\frac{1}{12}$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，则 $E (2 X - 1) =$ （）

X

-2

-1

1

P

$\frac{1}{6}$

a

$\frac{1}{3}$

A、0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-1 D、-2

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9. 已知 $c > a$ ，随机变量 $ξ ， η$ 的分布列如下表所示，则（）

A、 $E (ξ) > E (η) ， D (ξ) < D (η)$ B、 $E (ξ) > E (η) ， D (ξ) = D (η)$ C、 $E (ξ) > E (η) ， D (ξ) > D (η)$ D、 $E (ξ) < E (η) ， D (ξ) = D (η)$

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10. 已知 $0 < b < \frac{2}{3}$ ，随机变量X的分布列如图：

X

-1

0

1

P

$\frac{1}{3}$

a

b

则当b在 $(0, \frac{2}{3})$ 内增大时（）

A、 $D (X)$ 增大 B、 $D (X)$ 减小 C、 $D (X)$ 先增后减 D、 $D (X)$ 先减后增

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11. 已知随机变量 $ξ$ 的取值为 $i (i = 0, 1, 2)$ .若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (2 ξ - 3) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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12. 一个长方形塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中标有数字0的有10个，标有数字 $n$ 的有 $n$ 个（ $n = 1, 2, 3, 4$ ）. 现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中 $X$ 表示所取球的标号. 若 $η = a X + b (a > 0), E (η) = 1, D (η) = 11$ ，则 $a + b =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 已知X服从二项分布 $B (100, 0.2)$ ，则 $E (- 3 X - 2) =$ .

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14. 已知随机变量X的分布列如下表：

X

0

2

a

P

$\frac{1}{2}$

b

$\frac{1}{4}$

其中 $a > 0 ， b > 0$ .且 $E (X) = 2$ ，则b= ， $D (2 X - 1)$ =.

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15. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝；E（ξ）＝．

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16. 设随机变量 $X$ 的分布列如下：

X

0

1

2

P

$2 p + \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} - p$

$\frac{1}{3} - p$

若 $p \geq \frac{1}{5}$ ，则 $E (X)$ 的最大值是， $D (X)$ 的最大值是.

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三、解答题

17. 编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 $ξ$ .

(1)、求随机变量 $ξ$ 的取值和对应的概率，并列出分布列；

(2)、求随机变量 $ξ$ 的数学期望及方差.

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18. 一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，试验不成功的概率都是 $\frac{1}{3}$ 甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.

(1)、求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；

(2)、记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望 $E X$ .

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19. 一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X.

(1)、求随机变量X的分布列；

(2)、求随机变量X的数学期望.

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20. 某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．

前2月内的销售量（单位：件）

30

40

50

频数（单位：年）

6

8

4

(1)、若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）

(2)、依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．

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21. 口袋里装有大小相同的小球8个，其中红色球3个，黄色球3个，蓝色球2个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记1分，取到黄色球记2分，取到蓝色球记3分．第一次与第二次取到球的得分之和为ξ。

(1)、当ξ为何值时，其发生的概率最小？请说明理由；

(2)、求随机变量ξ的数学期望E（ξ）。

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22. 2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：

所用的时间（单位：小时）	$(3, 4]$	$(4, 5]$	$(5, 6]$	$(6, 7]$
路线1的频数	200	400	200	200
路线2的频数	100	400	400	100

假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发（将频率视为概率）.为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线.

(1)、汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.

(2)、若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元（其他费用忽略不计），以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下（已知两辆车到达时间相互独立，互不影响）：

到达时间与约定时间的差x（单位：小时）	$x \leq 0$	$0 < x \leq 1$	$x > 1$
该车得分	0	1	2

生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，若汽车A、B用（1）中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y（万元），求随机变量Y的期望值，（援助总额 $=$ 一次性费用 $+$ 生产成本 $+$ 现金捐款总额）

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前2月内的销售量（单位：件）	30	40	50
频数（单位：年）	6	8	4

ξ	1	2	4
P	0.4	0.3	0.3

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	m	n	$\frac{1}{12}$

X	-2	-1	1
P	$\frac{1}{6}$	a	$\frac{1}{3}$

X	-1	0	1
P	$\frac{1}{3}$	a	b

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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