上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2020-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. “ $x < 2$ ”是“ $x^{2} < 4$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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2. 不等式 $- x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 ${x | - 2 < x < 1}$ ，则 $b + c - 1$ 的值为（）

A、2 B、-1 C、0 D、1

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3. 设集合 $M = {x | x = \frac{π}{2} + \frac{k π}{4}, k \in Z}$ ， $N = {x | x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、 $M \subseteq N$ C、 $M \supseteq N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{k}{x}, x \geq 2 \\ {(x - 1)}^{2}, x < 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 有三个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[1, 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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二、填空题

5. 已知集合 $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ ， $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B =$ .

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6. 集合 $A = {0, 1}$ 的所有子集中，含有元素0的子集个数是.

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7. 若关于x的不等式 $x^{2} - a x + 1 > 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数a的取值范围是.

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8. 命题“存在x∈R，使得x²₊2x+5=0”的否定是

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9. 设集合 $M = {(x, y) | x + y = 2, x \in R, y \in R}$ ， $N = {(x, y) | x = y, x \in R, y \in R}$ ，则 $M \cap N =$ .

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10. 已知集合 $A = {1}$ ， $B = {a, a^{2} + 3}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的值为.

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11. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 = 0}$ ， $B = {x | a x - 1 = 0}$ ， $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的取值集合为.

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12. 设实数集上不等式 $\frac{2 x + 1}{3 - x} < 0$ 的解集为 $A$ ，则 $∁_{R} A =$ .

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13. 已知 $A : | x | < 2$ ， $B : (x + 2) (x + a) < 0$ ，若A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.

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14. 已知集合 $A = {1, 1 + a, 1 + 2 a}$ ， $B = {1, b, b^{2}}$ ，则 $A = B$ 的充要条件是.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3 a$ ， $g (x) = \frac{2}{x - 1}$ ，若对任意 $x_{1} \in [0, 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [2, 3]$ ，使得 $f (x {}_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，则实数a的取值范围是.

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16. 已知 $a \in R$ ，若存在定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 同时满足下列两个条件：①对任意 $x_{0} \in R$ ， $f (x_{0})$ 的值为 $x_{0}$ 或 $x_{0}^{2}$ ；②关于x的方程 $f (x) = a$ 无实数解.则a的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $a b \neq 0$ ，求证： $a^{3} + b^{3} + a b - a^{2} - b^{2} = 0$ 的充要条件是 $a + b = 1$ .

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18. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | 2 m - 1 < x < m + 1}$ ，且 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y(米)与汽车车速x(千米/小时)满足下列关系式： $y = \frac{n x}{100} + \frac{x^{2}}{400}$ （ $n$ 为常数，且 $n \in N$ ）.在两次试验刹车中，所取得的有关数据如图所示，其中 $5 < y_{1} < 7$ ， $13 < y_{2} < 15$ .

(1)、求 $n$ ；

(2)、要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？

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20. 设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0$ ）且 $f (1) = - \frac{a}{2}$ .

(1)、求证：方程 $f (x) = 0$ 有两个不同的实根；

(2)、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个不同实根，求 $| x {}_{1}- x_{2} |$ 的取值范围；

(3)、求证：方程 $f (x) = 0$ 的两个不同实根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 至少有一个在范围 $(0, 2)$ 内.

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